三个二次式之间的转化

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二次方程、二次函数是初中数学的重要知识，再加上二次不等式就构成了初高中知识的衔接点，也成为新课标的重要基础知识块.这三个二次式从形式到知识上是相互关联的，从问题到方法上又是相互依存的.在解决相关问题时，充分利用它们之间的密切联系，相互转化，可化难为易，优化解题.

一、函数与方程的转化

方程可视为函数的特例.如在二次函数y=ax2+bx+c中，令y=0，就得到二次方程ax2+bx+c=0；反之，记上述方程的左端式子为y，就是二次函数y=ax2+bx+c.这样，二次函数的图象、性质，与二次方程的根、判别式、韦达定理可以相互为用.

例1求二次函数y=3x2+2x+1的值域.

解将函数式化为关于x的二次方程，得

3x2+2y+（1―y）=0.

因为x是实数，也即二次方程有实根，

所以Δ=2―43（1―y）≥0，

解得y≥6―36.

所以值域是[6―36，+∞）.

点评本例将二次函数值域问题，转化为二次方程有实根问题.实际上，所有二次函数都可以用本例方法，将二次函数式改写成二次方程的形式，然后用判别式法求得值域.

例2讨论二次方程x2―2x―c=0在区间[0，3]上的实根个数.

解分离变量并配方得

1+c=（x―1）2 （其中0≤x≤3）.

记y1=1+c，y2=（x―1）2，

画出两个函数的图象.

可见：

（1）当1+c4，即c3时，两个图象无公共点，即原方程无实根.

（2）当1

（3）当1+c=0，即c=―1时，抛物线与x轴相切，则原方程有两个相等的实根（即x1=x2=1）.

（4）当0

综上，当c3时，方程无实根；

当0

当c=―1时，方程有两个相等实根；

当―1

点评本例解法将方程实根问题转化为函数图象的交点问题，因此形象而直观，回避了繁难的运算.

二、函数与不等式的转化

二次函数的图象位置，与x轴的交点，可与相应二次不等式的解的范围相互转化.这可使直观的图象与精确的数量互为利用，从而获解.

例3若二次函数f（x）=x2+2mx+m在区间[0，2]上无零点，求实数m的取值范围.

分析依题意，满足要求的二次函数f（x）的图象与x轴的位置关系可有：①与x轴无公共点；②公共点都在原点左侧；③公共点都在点2右侧；④两个公共点分别在原点左侧点2右侧.

解符合要求的二次函数的图象有图2所示的四种情况.按抛物线与x轴、对称轴x=―m与区间[0，2]的位置关系，可得到四个不等式（组）.

①Δ

解得0

②Δ≥0，

―m

f（0）>0m≤0或m≥1，

m>0，

m>0

m≥1.

③Δ≥0，

―m>2，

f（2）>0m≤0或m≥1，

m

m>―45

m∈.

④f（0）

f（2）

m

综上，m的取值范围是m0.

点评本例解法将函数零点位置问题，转化成不等式组的解的问题.

例4若当x∈[0，1]时，不等式x2―kx+2k+2>0恒成立，求k的取值范围.

解分拆不等式，化为k（x―2）

记y1=k（x―2），y2=x2+2，画出它们的图象（图3）.要使不等式恒成立，只要y1的图象在y2的图象下方即可.转动y1的图象（线段），观察得到k>―1.

点评以上两例都用到了重要的数学思想――数形结合，从而使思维简约，运算便捷.

三、方程与不等式的转化

对于二次方程ax2+bx+c=0与二次不等式ax2+bx+c>0 （

例5如果不等式ax2+bx+c

解由题设知x1=―2，x2=1是相应二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，由韦达定理有

―ba=x1+x2=―1，

ca=x1x2=―2.

解得b=a，

c=―2a.

代入所求不等式，有

―2ax2―ax+a

由原题设可知a>0，

则该不等式化为2x2+x―1>0.

而相应方程2x2+x―1=0的两根是

x1=―1，x2=12，

从而所求不等式的解是x12.

例6若方程x4―2x2+c=0有实根，求实数c的取值范围.

解设x2=t，则原方程化为关于t的二次方程t2―2t+c=0有非负的实根.按实根情况讨论如下：

（1）若此方程有零根，将t=0代入，可得c=0.