复数的高路迁移

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摘要：数学是中职学生学习专业课的必不可少的重要课程，然而如何能让学生实现有效的过渡和衔接，促使学生轻松地学习专业课程是我们需要研究的问题。本文笔者给出了一个具体课例，详细讲述了复数在专业中的应用，给出了成功“迁移”的方法。

关键词：迁移；复数；三角形式；极坐标形式

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0191-03

[案例背景]

复数不仅是数系的扩充，更成为了“机电应用专业”学生学习交流电必不可少的工具。“为了迁移而教”的观点影响着我们。而复数的学习更是为了学生的高路迁移。学生已经掌握了复数的基本知识，包括复数的定义、代数形式的四则运算、三角形式、指数形式等。如今面临的问题是学生能否做到在学习《电工基础》这门专业课用到复数理论时实现高路迁移。根据过往的经验看，毕竟专业中的复数与数学的复数不完全相同，包括符号的变更、名称的叫法等，从而大多数学生无法有效地实现迁移。这就造成了专业课教师费时费力地又将复数当成新知识重新开讲。因此，我们的数学教师需要搭建一座桥梁，构架数学复数与专业复数的连接点。本节课例从复习课的角度出发，让学生自己体会专业中复数符号变更的理由，掌握专业复数四种形式互相转换的方法，使数学课成为学生主演的课堂。本节课的目的不是增加学生的负担，而是通过引导、点拨，教会学生迁移的办法，让学生能够通过本节课发现复数的高路迁移。本案例利用“迁移”理论，通过“任务驱动”进行铺垫，帮助学生在现有知识水平的基础上成功地实现学习任务的跨越。

[有效铺垫1]——概念

复习活动：为过渡和引入专业复数作铺垫。

任务1：学生说出复数的代数形式、三角形式、指数形式的写法。

代数形式：a+bi 三角形式：r（cos？兹+isin？兹） 指数形式：rei？兹

任务2：将复数代数形式转化成三角形式。

说明：任务2是复数部分的难点，在学生有困难的情况下需要教师点拨、指导。

点拨1：你能将复数a+bi在直角坐标系中表示出来吗？

点拨2：你能在图中找到复数三角形式中所对应的吗？

点拨3：？兹是哪个角？请在图中标出。（注意角的旋转方向和范围）

学生答角的旋转方向：逆时针方向。

学生答角的范围：[0，2？仔]或[0°，360°]

[有效铺垫2]——运算

复数的运算有加减乘除四种。复数的形式有三种。

提问：求z1±z2，z1和z2选择何种形式？

[自然过渡]

教学片断：

教师：我们已经学习了数学中的复数，下面我们将探讨专业课《电工基础》中的复数。数学中复数的代数形式是a+bi，其中i是虚数单位。请问：在你们专业中，i代表什么？

学生：电流。

教师：i既是虚数单位，又是电流，妥当吗？

学生：不妥当。

教师：那怎么办呢？

学生：把复数中的i换个字母。

教师：对，我们专业中用符号j表示虚数单位（在专业中也叫90°旋转因子），专业中的复数代数形式表示为：a+jb。你们能得出专业中复数的三角形式和指数形式吗？

学生：把i通通换成j。三角形式：r（cos？兹+jsin？兹），指数形式：rej？兹。

[成功迁移]

专业《电工基础》衔接阅读：

正弦交流电的表示方法有四种，其中有一种是复数表示法。复数形式的应用主要用于两个以上同频率正弦量的合成，在交流电路的分析计算中经常用到。在专业中复数也有代数形式、三角形式、指数形式，还有其独特的复数的极坐标形式也称相量形式。

u=a+jb（复数的代数形式）

=r（cos？兹+jsin？兹）（复数的三角形式）

=rej？兹（复数的指数形式）

=r∠？兹

我们发现复数的代数形式和三角形式的互相转化是实现复数的四种形式间互相转化的关键。由于专业中？兹的规定与数学中略有不同，因此专业中求？兹只需用计算器按出arctan■的结果就可以解决。

点评：上面两幅图形象地给出了数学复数的三角形式和专业复数中的三角形式的区别，为知识的迁移打好了基础。

u=a+jb（代数形式）■

■

u=r（cos？兹+jsin？兹）（三角形式）u=rej？兹（指数形式）u=r∠？兹（相量形式）

[专业应用]

专业中正弦量一般表示成函数式，但这种形式难以进行正弦量的加减乘除等运算。我们从数学中寻求简便的办法，这就是复数。而正弦交流电的合成（相加）关键是变形和还原。第一步变形，先将正弦量变形成复数的相量形式表示；再将相量形式利用数学复数知识，变为代数形式。第二步相加，利用数学复数的加法知识，得到代数形式的结果。第三步还原，先将代数形式还原成相量形式；再将相量形式还原成正弦量的表示。

i=Imsin（？棕t+？渍）（正弦量函数表示）

■=■∠？渍（正弦量复数表示）

将i用复数的相量形式表示时，使用符号■；同理，将u用复数的相量形式表示时，使用符号■。

举例：已知

u1=10■sin314tV，u2=15■sin（314t+90°）V，

u3=5■sin（314t-90°）V，求：u=u1+u2+u3。

解：第一步：变形

u1=10■sin314t■■1=■∠0°=10∠0°■■1=10

u2=15■sin（314t+90°）■■2=15∠90°■■2=j15

u3=5■sin（314t-90°）■■3=5∠-90°■■3=j（-5）

第二步：相加

■=■1+■2+■3=10+j15+j（-5）=10+j10

第三步：还原

■=10+j10■■=10■∠45°■u=20sin（314t+45°）

练习：已知

u1=4■sin314tV，u2=3■sin（314t+90°）V，求：u=u1+u2。

[案例设计的理论和实践分析]：

迁移理论认为：先前学过的东西对现在正在进行的学习产生一定的影响；或原先解决的某个问题影响新问题的解决，这时候就产生了迁移（Mayer & Wittrock，1996）。研究和经验表明学生可以掌握新的知识，问题解决的方法，学习策略，但是在没有提示或指导的情况下就无从下手。萨洛蒙和珀金斯（Gavriel Salomon & David Perkins，1989）描述了两种迁移，分为低路迁移和高路迁移。在相近情境中的自发、自动迁移是低路迁移。而学习复数的运算、复数的三角形式、指数形式就是为了能在专业中有所应用。高路迁移是一种高层次的迁移，因此本节课的目的是为了学生能实现数学复数的高路迁移。而实践的教学发现，由于学生年龄和经验的限制，以及学生学习能力的薄弱，导致他们无法在学习专业课时实现复数知识的高路迁移，最后的结果就是专业老师得将复数的知识当作新知识重新再讲一遍，更为悲哀的是即使再讲一遍，很多的学生仍然不会。针对这种情况，数学老师专门研究了一下专业中的复数知识，发现专业复数内容与数学复数内容大同小异，但专业中讲解没有数学中细致，即使例题也有很多的跳步骤，作为初中数学基础本就薄弱的学生而言根本无法理解。因此，本节课从打通数学与专业的角度出发，设计了一堂用数学的精细化思想讲解专业中复数知识的数学课。首先将学生所学的数学复数做一个总结，接着引入专业复数。让学生自我感悟，发现知识的连贯与承上启下。另外，设计中有些自制图表，形象地给出了数学复数与专业复数的异同，方便学生的高路迁移。最关键的是学生应用知识解决问题的能力。对此，设计中给出了程序性步骤，这是专业课教授中不可能给出的。而程序性知识学生易于掌握和应用，班级绝大多数学生都能体会。

参考文献：

[1]加里·D·鲍里奇.有效教学方法[M].南京：江苏教育出版社，2005.

[2]顾明远，孟繁华.国际教育新理念[M].海口：海南出版社，2006.

[3]李玉清.电工基础[M].北京：中国电力出版社，2010.

[4]阿妮塔·伍德沃克.教育心理学[M].南京：江苏教育出版社，2005.