基于灰色加权马尔可夫模型的沪铜走势分析
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摘 要：利用灰色系统理论将期货市场收市价划分状态，根据期货市场收市价序列为相依随机变量的特点，以收市价序列之间的自相关系数为权重，用加权的马尔可夫模型预测期货市场收市价的走势，进而给出最有可能的收市价数值，最后给出期货市场收市价马尔可夫链的极限分布，并结合具体数据分析收市价每个状态的复现期。本文以上海期货交易所铜期货0811合约对该方法进行验证，收到了较好的效果。
关键词：灰色系统理论；权马尔可夫模型；期货市场；收市价；极限分布
1.引言
近年来，许多学者把马尔可夫模型用于金融市场数据的分析及预测，其中期货市场价格的预测是一个热点也是难点问题。文献[1]、[2]和[3]分别运用马尔科夫模型对小麦期货价格、燃料油期货价格以及沪深300股指期货价格进行了预测，收到了一定的效果。运用马尔可夫方法进行有关分析需要大量的历史数据，然以GM（1，1）模型为基础的灰色预测模型所需信息较少，计算简便且精度较高，却对波动性较大的数据拟合较差。因而可以把两者结合起来，不仅可以充分利用历史数据给予的信息也可大大提高随机波动较大数据列的预测精度。由于期铜市场数据为一相依随机变量，其相依关系的强弱采用自相关系数作为其定量的依据。为此，本文考虑以灰色系统预测理论划分状态，以收市价序列之间的自相关系数为权，用灰色加权的马尔可夫模型预测沪期铜的走势。
2.灰色加权马尔可夫模型
2.1 灰色系统GM（1，1）模型[4]
假设原始数据序列为X（0）（k），（k=1，2，…，n），对X（0）（k）进行累加生成1-AGO序列
X（1）（t）=X（0）（1）+X（0）（2）+…+X（0）（t），（t=1，2，…，n）
相应的GM（1，1）模型的一级参数包P1在最小二乘法准则下有矩阵算式
P1=（a，b）T=（BTB）-1BTY
其中B为灰色预测模型的数据矩阵，Y为GM（1，1）模型的数据向量，B和Y的构成分别为，
B=-Z（1）（2）1
-Z（1）（3）1
-Z（1）（n）1，Y=X（0）（2）
X（0）（3）
X（0）（n）
其中
Z（1）（k）=0.5X（1）（k）+0.5X（1）（k-1）
GM（1，1）模型X（0）（k）+aZ（1）（k）=b的时间响应序列为
X（1）（k+1）=（X（0）（1）-ba）e-ak+ba
累加还原得
X（0）（k+1）=（1-ea）（X（0）（1）-ba）e-ak
GM（1，1）的预测曲线为
Y（k）=X（0）（k+1）.
2.2 划分状态
划分状态是以Y（k）为基准曲线，根据数据的具体情况划分成与Y（k）曲线平行的若干区域，每一个条形区域为一个状态。根据具体情况划分为m个状态，其任一状态可表达为：
i=1i，2i，（i=1，2，…，m）
1i=Y（k）+Ai，2i=Y（k）+Bi
其中Ai，Bi，m的确定依据研究对象和原始数据数目来确定[5]。
2.3 马尔可夫链[6]
马尔可夫过程指的是无后效性的随机过程。无后效性是指当过程在时刻tm所处的状态为已知时，过程在大于tm所处状态的概率特征只与过程在tm时刻所处的状态有关，而与过程在tm时刻以前的状态无关。
设随机序列{X（n），n=0，1，2，…}的离散状态空间为I。若对于任意m个非负整数n1，n2，…，nm（0≤n1 P{X（nm+k）=jX（n1）=i1，X（n2）=i2，…，X（nm）=im}=P{X（nm+k）=jX（nm）=im}则称{X（n），n=0，1，2，…}为马尔可夫链。
2.4 加权马尔可夫预测方法
通过期货市场的定性分析和大量期货合约收市价序列的统计分析可知，期货市场数据是一相依随机变量，各阶自相关系数刻画了其相关性程度的强弱。因而，先依其前面各天的期货市场收市价对该天的收市价进行预测，然后按前面各天与该天相依关系的强弱加权求和，达到充分、合理利用历史信息进行预测的目的，此即为加权马尔可夫预测的基本思想[7]。
2.5 马氏性检验
以文献[8]介绍的统计量χ2=2∑mi=1∑mj=1NijlgPijPj （服从自由度（m-1）2的χ2分布），作为检验i是否具有马氏性的标准，Nij表示从状态i经过一步转移到状态j的频数。其中
Pj=∑mi=1Nij∑mi=1∑mj=1Nij，Pij=Nij∑mj=1Nij
选定自由度α，查表得χ2α（（m-1）2），若χ2>χ2α（（m-1）2），则认为i具有马氏性，反之不是马氏链。
2.6 灰色加权马尔可夫预测模型步骤
（1）建立灰色GM（1，1）模型，计算累加生成序列X（1）（t），数据矩阵B，数据向量Y，求出X（1）（k+1），X（0）（k+1）以及预测曲线Y（k）。
（2）以GM（1，1）模型所得的Y（k），视原数据的数量以及研究对象划分合适数目的状态。
（3）计算收市价序列的各阶自相关系数rk
rk=∑n-kt=1（Xt-）（Xt+k-）∑nt=1（Xt-）2
rk表示第k阶（滞时为k）自相关系数，Xt表示第t天期货市场的收市价，为收市价序列的平均值，n为收市价序列的长度[7]。
（4）对各阶自相关系数归一化，即
k=rk∑lk=1rk
将它们作为各种滞时（步长）马尔可夫链的权（l为按预测需要计算到的最大阶数）[9]。
（5）按（2）所建立的分级标准，确定收市价序列中各收市价所属的状态。
（6）按（5）所得结果，计算不同步长马氏链的状态转移概率矩阵。
（7）分别以前面若干天的收市价为初始状态，结合（6）所得的状态转移概率矩阵求出所预测天的收市价状态概率Pi（k），i∈I（状态集），k为滞时（步长）。
（8）将同一状态的各预测概率加权求和作为期货市场收市价处于该状态的预测概率，即
Pi=∑lk=1kPi（k）
取max{Pi，i∈I}所对应的i即为该天收市价的预测状态，最可能的收市价为所属状态灰区间的中点。待该天收市之后，将实际数值加入原序列，再重复以上步骤（1）（8）即可进行下一天的收市价预测。
（9）应用马尔可夫遍历性定理，可求出极限分布，进而分析期货市场收市价的特征。
3.算例分析
以上海期货交易所铜期货合约0811为例，具体交易数据如下表所示：
表1 上海期货交易所期铜0811合约收市价序列及其状态表
时间 9.2 9.3 9.4 9.5 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.16
收市价 13120 13150 13180 13185 13160 13050 13025 13035 13060 12840
状态 2 3 2 3 3 2 2 3 3 2
时间 9.17 9.18 9.19 9.22 9.23 9.24 9.25 9.26 — —
收市价 12765 12740 12855 13205 13050 12970 12940 12965 — —
状态 1 1 2 4 3 3 — — — —
应用上述步骤预测上海铜期货9.25和9.26的收市价状态及最可能的数值。
（1）预测曲线为Y（k）=X（0）（k+1）=13156.41099e-0.001324103k
（2）根据收市价序列划分为4种状态：
1=[Y（k）-0.03，Y（k）-0.015]，
2=[Y（k）-0.015，Y（k）]，
3=[Y（k），Y（k）+0.015]，
4=[Y（k）+0.015，Y（k）+0.03]，
Y（k）为k时刻按GM（1，1）模型求得的预测值，为收市价的平均值。
（3）计算各种步长的状态转移概率矩阵：收市价落入各个状态的样本点数分别为2，6，7，1个。步长为1的状态转移矩阵为（步长为2，3，4，5的转移矩阵省略）
P（1）=121200
16161216
012120
0010
（4）各阶自相关系数归一化之后分别为：1=0.6528，2=0.2404，3=0.0364，4=0.0460，5=0.0237。
（5）依据9.18-9.24共5天的数据及其相应的状态转移概率矩阵预测9.25的收市价，集体数据见表2。
表2 9.25收市价状态预测表
初始日期 滞时 状态转移概率权 1 2 3 4
9.24 1 0.6528 0 1/2 1/2 0
9.23 2 0.2404 1/12 1/3 1/2 1/12
9.22 3 0.0364 1/12 1/3 1/2 1/12
9.19 4 0.0460 154/1296 451/1296 612/1296 79/1296
9.18 5 0.0237 373/2592 913/2592 1152/2592 154/2592
概率加权和pi 0.0319 0.4430 0.4971 0.0259
由表2，max{Pi，i∈I}=0.4971，即预测9.25的状态为3，灰色区间为[12863.57169，13058.93732]，最可能的收市价为区间的中点12961.2545，与实际值12940比较接近。
同理，可以预测9.26的最可能收市价为12944.23308。
（6）以相依性最强的步长为1的马尔可夫链的特征分析可知收市价的4个状态是相通的，即i，j∈I，ij（i≠j）。该链是有穷的不可约马尔可夫链且是正常返的，所以该链是遍历的。根据遍历性定理以及极限分布方程组
∑j∈IPj=1
Pj=∑i∈IPiPij Pj≥0
求得极限概率为：P=（p1，p2，p3，p4）=（217，617，817，117），各个状态的再现期分别为T1=8.5000，T2=2.8333，T3=2.1250，T4=17.0000（Ti=1/pi）。从现存的数据结合各状态再现期分析，期铜0811的收市价状态3出现的机会最大，平均每2.1250天出现一次，状态4出现的机率最小，每17天出现一次。
4.结语
马尔可夫过程广泛应用于水文气象、通讯、自动控制以及经济金融等领域的预测，也衍生了权马尔可夫、模糊权马尔可夫、灰色马尔可夫等一系列预测模型，但是灰色加权马尔可夫预测模型却不多见。本文尝试建立了灰色加权马尔可夫模型，将马尔可夫链、灰色系统理论以及相关性分析有机结合，并且对波动性较大的铜期货市场的走势进行分析，融合各个理论的优点，能更充分合理的利用有关信息。预测结果为收市价所属的状态，是一个区间，并非具体数值，预测范围扩大了，相应的可靠性随之提高。因为期货市场实行每日无负债制度，结算价与收市价关系很大，所以灰色加权马尔可夫模型所预测的区间对于指导投资者结算有一定借鉴意义。（作者单位：上海理工大学管理学院）
参考文献：
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