轨迹方程的求法

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一、直接法

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x，y的等式从而得到轨迹方程，就可使用直接法．用直接法求动点轨迹一般有建系（建立坐标系）、设点、列式、化简、证明五个步骤．

例1如图1所示，已知点Q（2，0），圆O的方程为ｘ2+ｙ2＝1，动点M到圆O的切线长与MQ的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹．

解： 设MN切圆O于N，则MN2=MO2-NO2． 设M（ｘ，ｙ），则有＝λ． 化简得（λ2-1）（ｘ2+ｙ2）-4λ2ｘ+（1+4λ2）＝0．

当λ＝1时，方程为ｘ＝，M的轨迹是一条直线；当λ≠1时，整理方程可得ｘ-2+ｙ2＝，点M的轨迹是一个圆．

注： 题目要求求“轨迹方程”时，一般只要求出方程即可；要求求“轨迹”时，不仅要求出方程，而且要对轨迹进行描述，如轨迹为抛物线、圆等．

变式练习1：一个圆被两直线ｘ+2ｙ＝0，ｘ-2ｙ＝0 截得的弦长分别为8和4，求动圆圆心的轨迹方程．

答案： ｘｙ＝-．

二、定义法

所谓定义法，即运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），直接写出轨迹方程；或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．

例2如图2所示，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的土坑，挖出的土只能沿AP，BP运到P处，其中AP＝100ｍ，BP＝150ｍ，∠APB＝60°. 怎样把土运到P点最省工？

解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近． 其中第三类的点位于前两类的分界线上. 设M（ｘ，ｙ）为分界线上任意一点，则MA+AP＝MB+BP（①）． 由余弦定理得AB＝=50．又由①式得MA-MB=BP-AP=50

变式练习2： 已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使PQ=PF2，那么动点Q的轨迹是

A． 圆 B． 椭圆 C． 双曲线的一支 D． 抛物线

答案：A

三、转移代入法

如果所求轨迹上的点P（ｘ，ｙ）随另一个在已知曲线C：F（ｘ，ｙ）＝0上的动点M（ｘ0，ｙ0）的变化而变化，且ｘ0，ｙ0能用ｘ，ｙ表示，则将ｘ0＝ｆ（ｘ，ｙ），ｙ0＝ｇ（ｘ，ｙ）代入已知曲线F（ｘ，ｙ）＝0，化简后即可得所求轨迹方程．

例3如图3所示， P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

解： 设AB的中点R（x1，y1），则在RtAPB中，AR2=PR2=（ｘ1-4）2+． R是弦AB的中点，在RtORA中，AR2=AO2－OR2=36－（+）． （ｘ1-4）2+＝36－（+），整理得（x1-2）2+＝14． 即R的轨迹是以（2，0）为圆心，半径为的圆．

设Q（x，y）， APBQ为矩形， R是PQ的中点， x1=，y1=，代入方程（x1-2）2+＝14，得-22+2=14． 整理得点Q的轨迹方程为x2+y2=56．

变式练习3：已知ABC中，B（1，0），C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，求ABC的重心G的轨迹方程．

答案： y-1=-（ｘ-3）2 （ｙ＞0且ｙ≠）． （提示：设A（ｘ0，ｙ0），根据重心坐标公式与三角形存在的条件，使用转移代入法求解．在解题中应注意条件“点A在x轴上方移动”，可知ｙ必须大于0）

四、点差法

求圆锥曲线中点弦的轨迹时，常把两个端点设为A（ｘ1，ｙ1），B（ｘ2，ｙ2）并代入圆锥曲线方程，作差求出轨迹方程．

例4如图4所示，过抛物线ｙ2＝4ｘ的焦点F作直线与抛物线交于P，Q两点，当此直线绕焦点F旋转时，求弦PQ中点的轨迹方程．

解法一： 设P（ｘ1，ｙ1），Q（ｘ2，ｙ2），PQ的中点为M（ｘ，ｙ）. 由＝4ｘ1，＝4ｘ2得：（ｙ1-ｙ2）（ｙ1+ｙ2）＝4（ｘ1-ｘ2）．

当ｘ1≠ｘ2时，整理得2ｙ•=4，又kPQ=kMF=，所以2y•=4，即y2=2（ｘ-1）．

当ｘ1＝ｘ2时，PQ平行于y轴，易得弦PQ的中点为F（1，0），也满足方程y2=2（ｘ-1）． 故PQ中点的轨迹方程为y2=2（ｘ-1）．

注： 一般情况下，能用点差法解的问题，都可用韦达定理与参数法解决．

变式练习4： 斜率为2的直线被抛物线x2=y所截得线段中点的轨迹方程是

A． x=1（ｙ＞0） B． ｘ＝1（ｙ＞1） C． ｘ＝-1（ｙ＞0） D． ｘ＝-1（ｙ＞1）

答案： B （提示：设直线y=2x+b与抛物线的两个焦点分别为（ｘ1，ｙ1），（ｘ2，ｙ2）． 由y1=，y2=得（y1-ｙ2）=（ｘ1-x2）（ｘ1+x2）， =ｘ1+x2=k=2. 设线段中点为M（ｘ，ｙ），由ｘ＝=1可得M（1，ｙ）. 而当x=1时，抛物线上的点的纵坐标为y=1， M在抛物线内部， M（1，ｙ）必在点（1，1）上方， y>1）

注： 在解答轨迹方程问题时，要特别注意题目对方程变量取值范围的限制． 如变式练习4中，y的取值要满足y=x2≥0，且M在抛物线内部即y>1两个条件．因此同学们在解题后可将变量的取值范围与题中条件（包括隐含条件）进行核对，以免出错．

五、参数法

求轨迹方程时，如果难以直接找到动点的横坐标x、纵坐标y之间的关系，就可通过中间变量（参数）使x，y建立起联系，然后再消去参数，得到轨迹方程． 转移代入法、点差法都是参数法的一种特殊表现．

例5如图5所示，在ABC中，已知A（3，0），B，C在ｙ轴上运动，且保持BC＝2. 求ABC的外心P的轨迹．

解： 设B（0，ｔ），C（0，ｔ+2），P（ｘ，ｙ），AB中点为Ｍ，则M的坐标为，． P为ABC外心，M为AB中点， PMAB． 由此可得ty-=3x-，与BC的中垂线方程y=t+1联立消去参数ｔ，得点P的轨迹方程ｙ2＝6ｘ-8． ABC的外心P的轨迹是一条抛物线．

变式练习5：如图6所示，设AB是单位圆O的直径，点N是圆上的动点，过点N的切线与过点A，B的切线分别交于D，C两点．四边形ABCD的对角线交于点G，求G的轨迹．

解： 以圆心O为原点，AB为x轴正方向建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），单位圆的方程为ｘ2+ｙ2＝1. 设点N的坐标为（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ），则切线DC的方程为：ｘｃｏｓθ+ｙｓｉｎθ＝1，C1，，D-1，． AC的方程为y=（ｘ+1），BD的方程为ｙ＝-•（ｘ-1），两式相乘得：ｙ2＝-•（ｘ2-1），即ｘ2+4ｙ2＝1． 当点N无限接近A或B时，点G亦无限接近A或B；当点N恰为A或B时，四边形ABCD不存在，不符合题意， 点G的轨迹方程为ｘ2+4ｙ2＝1（-1

注：①用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等． ②要特别注意消参前后需保持解题范围的等价性，使答案满足题目中的限制条件. ③多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程才能消参. 遇到能整体处理的特殊情况时，方程个数可减少．