细说垂线、垂线段、点到直线的距离

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关于垂线，同学们在小学里已接触过，但那仅仅停留在感性认识上，没有对垂线进行概念描述. 七年级上册教科书通过图片及“议一议”活动，带大家一起回忆了小学里学过的相关知识，并遵循从感性到理性的认知规律归纳了垂线的定义，进而引出垂线段、点到直线的距离等概念. 由于同学们的认识水平有限，往往会对这三个概念认识模糊，混淆不清，下面我们来一探究竟.

一、 垂线、垂线段、点到直线的距离的定义

1. 垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2. 垂线段的定义：垂线上一点到垂足之间的一条线段.

3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度.

二、 垂线、垂线段、点到直线的距离的区别

1. 垂线是一条直线，可以向两端无限延伸，没有长度，垂线表示的是一个图形.

2. 垂线段是垂线上的一条特殊的线段，是有限的一段，有长度，表示的是一个图形.

3. 点到直线的距离是垂线上一条特殊的线段的长度，表示的是一个数量，而不是图形.

下面我们通过图形来分析这三个概念，如图1所示：

直线b叫做直线a的垂线，也可以说直线a叫做直线b的垂线；线段CO叫做垂线段，同样，线段AO、BO、DO都叫做垂线段；线段CO的长度叫做点C到直线a的距离，同样线段AO的长度叫做点A到直线b的距离.

三、 概念辨析

1. 下列判断错误的是（ ）.

A. 一条线段有无数条垂线

B. 过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直

C. 两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直

D. 若两条直线相交，则它们互相垂直

【解析】本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.

【正确解答】D.

2. 下列判断正确的是（ ）.

A. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离

B. 过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离

C. 画出已知直线外一点到已知直线的距离

D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短

【解析】本题错误原因是没有正确理解垂线段的概念及点到直线的距离的意义.

说法A是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.

说法B是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的.

说法C是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度.

【正确解答】D.

四、 生活中的应用

通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到直线的距离. 经过探究，我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它. 这样可使有些复杂问题变得比较简单，因此其应用较为广泛. 接下来我给同学们举几个例子：

1. 如图2，甲、乙两名同学在测量刘佳同学的一次跳远成绩时，分别测量出DA=4.56米，DB=4.15米，AC=4.70米，则刘佳的跳远成绩应该为______米.

解：刘佳的跳远成绩应为4.15米.

因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点到踏板的距离，所以测量AC、DA都是错误的，线段DB的长度才是刘佳跳远的正确成绩. 跳远成绩的测量就是求点到直线的距离.

2. 如图3，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N分别是位于公路两侧的村庄.

①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N最近. 请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？

解：①过点M、N分别作直线AB的垂线，垂足分别为P、Q.

②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的AP段距离M、N两村庄都越来越近，在PQ段距离村庄N越来越近，而离M越来越远.