四川仁寿县富加中学

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求角度问题和距离问题是立体几何中两大类计算题，它们从数量关系上刻画空间图形位置关系.立体几何中涉及的角度有三种：异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角（即二面角）.作为三大角之一的二面角，除了本身所包含的问题之外，它又是两个平面垂直定义的基础，同其他两种角相比，二面角又是多种知识的交汇点.因此是每年高考重点考查的知识点之一.

在二面角的教学中，对于二面角及相关问题应引起足够重视，结合典型例题，讲清如何寻找二面角的平面角及求二面角的多种方法，让学生认真领会并会熟练运用.

〖=D(〗一、二面角平面角的定义〖=〗

以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多大就说这个二面角是多大.从定义中可以看出二面角的平面角必须具备两个条件：一是平面角的顶点在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内都与二面角的棱垂直.另外还需注意二面角的平面角的取值范围为（0，180°），其中当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.

〖=D(〗二、二面角的平面角的一般作法〖=〗

在求解二面角的问题中，一般需先作出二面角的平面角.求作二面角的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点.二面角的平面角的作法可归纳为以下三种：

方法１：（定义法）利用二面角的定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，用这个方法作二面角的平面角要注意角的顶点恰当选取.

方法２：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.

方法３：（垂线法）该法就是利用三垂线定理或逆定理来寻找二面角的平面角，是最常用，也是最好的一种方法.由一个半平面内异于棱上的A向另个半平面作垂线.垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线OB，垂足为O，连接AO，由三垂线定理可知OA也垂直于棱，则∠AOB为二面角的平面角，当涉及的问题中有二面角的一个面的垂线或需作出此垂线时，常采用此法.

〖=D(〗三、求二面角的方法〖=〗

方法１：作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求解二面角.这种方法求解步骤一般是：（1）找出或作出所求二面角的平面角；（2）证明该角合乎题意即为所求角；（3）作出这个角的所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小.

图1例1 如图1，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值.

分析：若求平面A1BD与平面C1BD所成角的余弦值，首先必须找到其平面角，然后再考虑在平面上的三角形中求得.

解：正方体中的面对角线长相等，

A1BD与C1BD是全等的等边三角形.

取BD的中点O，连接A1O，C1O，则A1OBD， C1O1BD.

∠A1OC1是二面角A1—BD—C1的平面角.

设正方体的棱长为单位1，则

在A1OC1中，A1C1=2，A1O=C1O=62.

由余弦定理得，

cos∠A1OC1=A1O2+C1O2-A1C122A1O?C1O=13.

平面A1BD与平面C1BD的夹角的余弦值为13.

方法２：过空间一点作二面角的垂面，那么这个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角，用这种方法求二面角的大小我们称之为垂面法.垂面法也是求二面角的基本方法.

图2例2 如图2，过正方形ABCD的顶点A作PA平面ABCD.设PA=AB=α.求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小.

分析：本题中可证明平面PAB平面PAD，交线为PA，平面PCD平面PAD，交线为PD，从而∠APD即为二面角的平面角.

解：PA平面ABCD，

PAAB，PACD.

又 ABAD，CDAD，

AB平面PAD，CD平面PAD.

平面PAB平面PAD，平面PCD平面PAD.

∠APD为所求二面角的平面角.

在正PAD中，PA=AD=α，

∠APD=45°，即所求二面角大小为45°.

方法３：当二面角的一个面上的封闭几何图形的面积和它在另一个面上的射影的面积都容易计算时，求二面角的大小时，常用射影——面积公式法，即设平面α内一个封闭几何图形的面积为S，此几何图在平面β上的射影面积为S1，二面角α—l—β的大小为θ，则cosθ=S1S.

图3例3 如图3，已知二面角α—l—β 为直二面角，A∈α，B∈β，线段AB=a，AB与α成45°的角，与β成30°的角，过A、B分别作l的垂线AC、BD，C、D分别是垂足，求二面角C-AB-D的余弦值.

分析：此题中根据线面垂直和面面垂直可证明平面ABCβ ，交线为BC，过D作DHBC，就能找出ABD在平面ABC上的射影为ABH，从而可用cosθ=S1S求解.

解：α—l—β是直二面角，ACl，

ACβ.

平面ABCβ且交线为BC.

过D作DHBC于H，连接AH，则DH平面ABC，ABD在平面ABC的射影为ABH.

由AC平面β得∠ABC为AB和β所成的角，即∠ABC=30°.

BC=3a，AC=a.

由BDl得BD平面α，∠BAD为AB与α所成的角，即∠BAD=45°.

AD=BD=2a.

在RtBCD中，BD2=BH?BC，

BH=(2a)2(3a)2=233a.

SABD=12AD?BD=12?2a?2a=a2，

SABH=12BH?AC=12?233a?a=33a2.

cosθ=SABHSABD=33，即二面角C—AB—D的余弦值为33.