复变函数积分方法的教学思考
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摘 要： 复变函数积分是复变函数这门课程的一个重要的知识点，然而它比高等数学中的积分内容复杂得多。本文集中讨论了复变函数积分的方法，通过积分方法的比较可以帮助学生更好地掌握复变函数这门课程。
关键词： 复变函数 积分方法 沿非封闭曲线的积分 沿封闭曲线的积分
复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电子信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习后续专业课程打下良好的数学基础.但是，由于课程内容抽象琐碎，学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重要.考虑到复变函数是高等数学的后续课程，学生对高等数学中实变量的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西―古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学生学习的兴趣.本文集中讨论复变函数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解.
根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分.
一、沿曲线C（非封闭）的积分?蘩f（z）dz
当积分路径是非封闭的曲线时，可以用参数法和牛顿―莱布尼兹积分公式法.
1.参数法
路径是光滑的有向曲线C且可以表示成参数方程z=z（t），α≤t≤β，参数α、β分别对应C的起点和终点，则曲线积分可以用如下的公式计算：
?蘩f（z）dz=?蘩f［z（t）］z′（t）dt.
例1．计算?蘩zdz，其中C为从原点到1+3i的直线段.
解：将C的方程写作z=（1+3i）t，0≤t≤1，则：
?蘩zdz=?蘩（1+3i）td（1+3i）t=?蘩（1+3i）dt=-8+6i.
2.线积分法
如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是连续函数，C是光滑曲线y=g（x），则?蘩f（z）dz可以转变为两个二元实变函数的线积分，即：
?蘩f（z）dz=?蘩udx-vdy+i?蘩vdx+udy.
例2．计算积分?蘩（x+yi）dz，其中C为抛物线y=2x，0≤x≤1.
解：u=x，v=y，则：
?蘩（x+yi）dz=?蘩xdx-?蘩（2x）d（2x）+i?蘩（2x）dx+?蘩xd（2x）=?蘩（x-16x）dx+i?蘩（4x+4x）dx=-+i.
3.牛顿―莱布尼兹积分公式法
如果f（z）在单连通区域D内处处解析，G（z）为f（z）在区域D的一个原函数，z与z是区域D内两点，则：
?蘩f（z）dz=G（z）-G（z）.
例3.沿区域Im（z）≥0，Re（z）≥0内的圆弧|z|=1计算积分?蘩dz的值.
解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原函数为ln（z+1），则：
?蘩dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.
二、沿封闭曲线C的积分?蓐f（z）dz
1.参数法
如果积分路径是光滑的封闭曲线C且有参数方程z=z（θ），0≤θ≤2π，则曲线积分可以通过如下的公式计算：
Cf（z）dz=?蘩f［z（θ）］z′（θ）dθ
例4．计算C，其中C为以z为中心，r为半径的正向圆圈，n为整数.
解：将C的方程写作z=z+re，0≤θ≤2π，代入积分式得：
C=?蘩dθ=?蘩edθ=2πi，n=00，n≠0.
2.利用柯西―古萨基本定理积分法
如果f（z）在单连通区域B内处处解析，C是B的一条封闭曲线，则：
Cf（z）dz=0.
例5.计算积分Cdz，C：|z|=2.
解：因为f（z）=在圆周|z|=2内处处解析，所以积分结果为0.
3.利用高阶导数积分法
如果f（z）是区域D上的解析函数，C是区域D内围绕z的一条正向简单封闭曲线，则：
C=（n=1，2，…）
例6.计算|z|=3dz
解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.
4.利用级数积分法
若f（z）在圆环域B内处处解析，C是B内的一条封闭曲线，将f（z）展开成洛朗级数，f（z）=c（z-z），则：
f（z）dz=c.
例7.计算积分|z|=２dz
解：f（z）=在1＜|z|＜+∞内解析，|z|=2在此区域内，则按洛朗级数展开有：
f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，
则C=-2，所以|z|=２dz=2πi・（-2）=-4πi.
5.利用留数积分法
设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点z，z，…，z外处处解析，C是D内包含这些奇点的一条封闭曲线，则
Ｃf（z）dz=2πiRes［f（z），z］.
例8.计算积分|z|=２
解：被积函数f（z）=在区域|z|≤2的奇点是-i与1，
所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.
注意：若函数f（z）在封闭曲线内的奇点个数较多，曲线外的奇点个数较少，则根据f（z）在扩充复平面上的所有奇点（包括∞）的留数的总和必为零这一结论可得：
Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲线外只有奇点∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞为曲线外的奇点）.
例9．计算积分|z|=２dz
解：的奇点±1、±i在圆周|z|=2内，圆周外的奇点只有∞，则：
Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRes［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.
总之，复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多.因而教师在讲授时应帮助学生理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系，同时又要强调二者的不同，这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益.
参考文献：
［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2004.
［2］陆庆乐.工程数学-复变函数（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.
［3］王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［4］王燕.复变函数积分的解法分析［J］.数学学习与研究，2009，12:90-91.
［5］唐宝庆，杨润生，欧阳文等.对复变函数积分Ｃf（z）dz的计算在教学上的探讨［J］.数学理论与应用，2010，1（30）:120-122.
基金资助：国家自然科学基金资助项目（10801107）。
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