追本溯源 回归定义
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著名数学教育家波利亚说过， “回到定义去”是一项重要的智力活动?郾 数学概念常以定义的形式描述，它蕴涵着极其丰富的内涵?郾 深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径?郾 下面就定义在解题中的应用举例说明?郾
一、解集合题
例1 对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是正偶数或都是正奇数时，m*n=m＋n，当m、n中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，m*n=mn?郾 在上述定义下，集合M=｛（a，b）|a*b=60，a，b∈N*｝中元素的个数是多少？
分析 本题是信息题，解题时要透彻理运算“*”的定义，把握实质，正确运用?郾
解 （1） 当m、n都是正偶数时，由2＋58=4＋56=6＋54=…=58＋2=60，可知元素个数为29个；
（2） 当m、n都是正奇数时，由1＋59=3＋57=5＋55=…=59＋1=60，可知元素个数为30个；
（3） 当m、n中有一个为正奇数，另一个为正偶数时，由1×60=3×20=4×15=5×12=12×5=15×4=20×3=60×1=60，可知元素个数为8个?郾
故集合M中元素个数为29＋30＋8=67（个）?郾
二、解函数题
例2 函数y= f（x）（x∈R）满足：
（1） f（x）是偶函数， f（1）=2010?郾
（2） g（x）= f（x-1）为奇函数?郾
试求 f（2011）的值?郾
分析 题目中提到奇、偶函数，就应该从它们的定义入手，寻找解题思路?郾
解 由g（x）= f（x-1）为奇函数，得
g（-x）=-g（x）?郾
f（-x-1）=- f（x-1）?郾
又 f（x）是偶函数，
f（-x-1）= f（x＋1）?郾
于是 f（x＋1）=- f（x-1）?郾
则 f（x＋4）= f［（x＋3）＋1］=- f［（x＋3）-1］=- f（x＋2）=- f［（x＋1）＋1］= f［（x＋1）-1］= f（x）?郾
f（x）是以4为周期的周期函数?郾
故f（2011）= f（503×4-1）= f（-1）=f（1）=2010?郾
三、解方程
例3 解方程■-■=8?郾
分析 这是一个无理方程，如按常规方法（平方法）求解，将得到一个一元四次整式方程，显然比较繁琐?郾 这时若挖掘其几何意义，运用双曲线的第一定义即可简捷获解?郾
解 原方程可化为■-■=8，则令F1（-3，0），F2（7，0），M（x，3■），则原方程可化为|MF1|-|MF2|=8. 这说明点M既在双曲线■-■=1上，又在直线y=3■上，于是原方程可化为■-■=1，由此得x=10或x=-6（增根，舍去）?郾
四、求最值
例4 已知抛物线y2=2x和定点A（3，■），抛物线上有动点P，P到定点A的距离为d1，P到抛物线准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值及此时P点的坐标?郾
分析 作出抛物线的焦点，结合定义，可将最值问题加以转化?郾
解 如右图，点A（3，■）在抛物线y2=2x的外部，又知抛物线焦点F（■，0），则由抛物线的定义可知，d1＋d2=|PA|＋ |PF|≥|AF|，又|AF|=■=■?郾
故d1＋d2的最小值为■，
此时P点的坐标为（2，2）?郾
评注 “看到准线想到焦点，看到焦点想准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解?郾
五、求轨迹方程
例5 已知点P在椭圆■+■=1（a＞b＞0）上，椭圆焦点为F1、F2，过点F2作∠F1PF2补角的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程?郾
分析 若直接设点M（x，y），寻求关系式求轨迹方程，则非常困难，若能利用平面几何的知识，采用“追本溯源”的策略，结合圆与椭圆的定义，问题就可迎刃而解?郾
解 分别延长F2M、F1P，设其交点为N（如右图）?郾
PM平分∠F2PN，PMF2M?郾
PM是F2N的垂直平分线，则
|F2M|=|MN|，|F2P|=|PN|?郾
|OF1|=|OF2|，
OM是F1F2N的中位线，
|OM|=■|F1N|
=■（|F1P|＋|PN|）
=■（|F1P|＋|F2P|）
=a，
点M的轨迹方程为
x2＋y2=a2（x≠±a）?郾
六、求导数的值
例6 已知f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+2011），则f′（0）= ?郾
分析 本题主要考查同学们运用导数解决问题的能力?郾 求一个可导函数f（x）的导函数值f′（x0），通常是先求这个导数的导函数，再将x=x0代入?郾 然而，在本题中，f′（x）不易求得?郾 此时，可返回到原始定义，直接利用函数在某一点的导数的定义来求?郾
解 由导数的定义有：
f′（0）=■■
=■■
=■（x+1）（x+2）…（x+2011）
=2011!?郾
综上可以看出，定义在数学解题中的应用是很广泛的?郾 因此，同学们在平常的学习过程中一定要加强对概念的学习，注重对概念和定义的理解，真正做到融会贯通，灵活应用?郾
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