有效引领 常教常新

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培养和提高学生的思维能力是小学数学教育的主要任务，数学思维能力的培养是数学教学的核心。因此，数学教学应重视有效的教学过程、手段和方法的设计，使学生在解决小学数学问题中，体悟并提炼出新方法,发展和提高数学思维能力。

一、在公式推导的过程中引导新发现

数学公式的形成一般都要经历一个探索并发现的过程，这个过程如果处理得过于简单粗略，就会对学生的思维能力、新知的形成和公式的构建产生消极影响。所以在教学中应思考如何充分调动学生原有的知识储备，采取富有创造性的教学方式，引导学生发现数与形的本质属性或规律，使其掌握数学公式的推导方法。其中“操作——发现”的实践方式显得尤为重要，学生通过动手操作，不但能更好地掌握数学概念、原理、法则和数量关系，激发求知欲和好奇心，同时操作活动能促进逻辑思维能力、推理能力很好地发展。美国教育家杜威提倡“让学生从做中学”，所以数学教学应注意引导学生操作感知，拓展视角，让学生动手、动脑，自己来发现数学的本质和规律。

案例一：圆柱体积公式的推导，首先让学生回忆圆面积公式推导时所用的“化圆为方”的方法，然后引导联想并通过类比，引出将圆柱切拼，转化为近似长方体的方法，紧接着让学生分组合作完成从圆柱体到长方体的转化操作，进而推导出圆柱的体积计算公式。全班交流时，学生提出了以下几种想法：（1）V=πr2×h;（2）V=πrh×r;（3）V=rh×πr。显而易见，这几种方法都是将圆柱体转化为长方体，再由长方体的体积公式来推导出圆柱体体积的，而计算方法（1）是教材中唯一计算圆柱体体积的公式，此时我没有立刻进行总结，而是组织学生就三种情形进行比较，使学生认识到这三种方法解答的合理性，都是以摆放时与课桌接触的面作为底面积，乘垂直于课桌面的高，得出了同一公式的三种不同表达方式，明确第一种是常规情形的通用求解公式，而第二种和第三种是针对个别特殊情形的简易求解公式，这有利于学生在今后解决实际问题时灵活运用、简捷解答，对后两个公式我给予充分肯定，并请相关学生用教具演示，口述公式的推导过程，然后出示“一个圆柱侧面积是37.68平方分米，底面半径是3分米，求这个圆柱的体积”，让学生进行巩固练习，学生中有的用常规思路（根据侧面积和半径求高，再代入公式（1）V=πr2×h正确求解，还有学生利用公式（2）V=πrh×r解答，37.68÷2×3＝56.52（立方分米），其中πrh即侧面积的一半。我再次组织学生操作演示并发现：圆柱侧面积的一半，作为拼好的近似长方体的底面积乘高——半径。课至此，全班同学将成功的快乐挂在了脸上。

二、在问题解决的反思中产生新收获

数学问题的解决总是建立在学生已有知识的基础之上的，应让学生在解决问题的过程中，感受数学知识的魅力，从而对数学学习保持浓厚的兴趣。康托尔说：“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。”教师要不断地设计学习情境，为学生提供想象空间和思维挑战，使学生拥有足够的学习主动权，将学生推向主体地位。

案例2：大正方形边长10厘米，小正方形长8厘米，求阴影部分的面积（如图1）。

本题的常规解法无非是做些基本图形的加减拼合，即先计算梯形ABCE的面积：（8+10）×10÷2＝90（平方厘米），再求出三角形CDE的面积：8×8÷2＝32（平方厘米），接着求出三角形ABD的面积：（8+10）×10÷2＝90（平方厘米），最后把梯形ABCD的面积和三角形ABD的面积合成四边形ABDE的面积，再减去三角形ABD的面积：90+32-90＝32（平方厘米），得出阴影部分的面积是32平方厘米，或者先求出梯形ABCE的面积：（8+10）×10÷2＝90（平方厘米），再求出直角三角形ABD的面积：（8+10）×10÷2＝90（平方厘米），可以看出这两个面积中含有公共部分梯形ABCF的面积：由此得出SAFE=SCDF; S阴=SAFE+SEFD=SCDF+SEFD=SCDE=8×8÷2=32平方厘米，采用的是等积变换策略。而一般的教学过程是：先让学生独立思考，再启发交流，讲评总结。至此问题虽然已经解决，教师仍需指导学生继续思考：解决问题的结果与图形中两个正方形的面积有什么关系？为什么会有这样的关系？数学本质究竟是什么？就此，我在实际教学中分别设疑、质疑、释疑。

首先，我将题中条件进行简化，即只在图中标出小正方形边长为8厘米，大正方形边长未知，仍是求阴影部分的面积。学生一时难以下手，一个个紧锁眉头，面露难色，纷纷议论，都认为题目缺少一个条件，无法解答。此时，我要求全班同学各自采用赋值法进行尝试解答，即任意设定大正方形的边长，然后用常规思路解答，并进行相互比较。很快，学生都计算出了相同的结果，大家表现出极大的惊奇：不管大正方形的边长怎么变化，阴影部分的面积都是32平方厘米，正好是小正方形面积的一半。

一位学生提出：“大正方形的边长是一个多余条件。”多数学生百思不得其解，我适时进行引导，出示了直观示意图（图2），即在同一幅图上画出好几个形状各异的阴影三角形，然后有针对性地提问：“你能判断这样的阴影三角形有多少个吗，它们之间有什么关系？”学生很快发现：这些阴影三角形都有一条边是固定的，那就是小正方形的一条对角线，而阴影三角形的有一个顶点在一条方向固定的直线上，随着大正方形边长的变化在此直线上移动，而这条直线实际上就是变化后大正方形的对角线。学生明白了：“因为大正方形和小正方形相应的两条对角线是互相平行的，因此构成的所有不同形状的阴影三角形，它们都是同底（小正方形的对角线）等高（两条平等线之间的垂直线段都相等），所以它们的面积都相等。”有的学生还发现：如果把阴影三角形中那个不确定的点移动到C,那就是极端情形，此时阴影三角形的面积恰好是小正方形面积的一半，因此其他任何位置的阴影三角形的面积也都是小正方形面积的一半，即S阴三角形=S小正方形÷2＝8×8÷2＝32平方厘米。认真的思考，热烈的讨论，教室里不时爆发出一阵阵掌声，从掌声中可以感受到学生追求真知的热情，思维能力提升的快乐。

作者单位

江苏省高邮市城北实验小学