注重双向思维训练 提高数学思维品质

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在日常教学中，教师应兼顾顺向思维和逆向思维，它们是学生思维相辅相成的两个方面。逆向思维从问题的对立面出发，于山穷水尽中另辟蹊径，寻求解决问题的策略，有效地培养创新意识。在现有的小学数学教材中，设计运用逆向思维解决问题的习题较少，大多数学生习惯通过顺向思维去解决问题。这种思维定势制约了学生思维的拓展，在解题的过程中思维受阻，无法发挥思维潜能。数学学得好，很大程度体现在思维的严密性与跳跃性的完美结合。教学中，我们可以尝试引导学生改变思维方向，用逆向思维去思考如何解决问题。

小学阶段数学知识的部分概念、性质、运算思路和解题方法具有可逆性，一些数学知识也是通过互逆转换而发展深化的，这都是培养小学生逆向思维的宝贵资源。在教学中，教师应有意识地帮助学生实现由顺到逆的思维重建，引导学生辨析知识，扩展认知结构，使其面对复杂数学情境也能有思维灵活性。

一、 挖掘数学定义与公式的可逆性

有些数学概念具有可逆性。教师的常规做法是正面切入，让学生观察现象、发现规律、归纳总结。长此以往，学生对概念的理解仅仅停留在表面。教师若能从逆向的角度去认识概念，引导学生探究概念中隐含的性质与条件，逐步尝试逆用公式法则，便能加深学生对概念的理解和掌握。

例如，教学“平均数”这节概念课，学生在教师引导下学会如何计算平均数，了解平均数的取值区间在最大数与最小数之间等。教师为了让学生能够灵活运用概念去解决更多的问题，便可以巧妙设计逆向思维练习――从平均数逆着去推想具体数。

问题1：三个数的平均数为a，其中两个数都小于a，那么第三个数（？摇？摇？摇？摇？摇？摇）。①大于a，②等于a，③小于a，④无法确定。学生从平均数的定义入手，联想求平均数的方法是移多补少，两个数都小于平均数，那么第三个数一定大于平均数。

问题2：四个数的平均数为a，其中两个数都小于a，第三个数大于a，第四个数（？摇？摇？摇？摇？摇）。①大于a，②等于a，③小于a，④无法确定。

学生在解答前一道问题的基础上，容易误认为问题2中第四个数等于a。实际上，这道题与前三个数的和跟3a的大小关系有关。借助线段图或者条形统计图，学生能够比较出答案是不确定的。通过以上的逆向分析，学生思考问题就会条理清晰、逻辑严密。

教材中常有可逆的数学公式、性质和法则，教学中注意双向思维训练，除了让学生更好地理解概念本身，掌握它的常规应用之外，还要引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与运用的拓展。就如，三年级教了长方形周长公式，通过已知长和宽的条件，可以求周长。反过来，已知周长和长，可以求宽。自此，学生得出结论：长、宽、周长三者密切相关，已知其中两者，即可求第三个量。从已知角度出发，通过对公式本身和其逆运算，使学生对概念辨析更清楚，理解更透彻，帮助学生养成双向思维的习惯。

二、 加强互逆训练，增强双向思维

当学生初步掌握书本上的基本知识和概念后，能按图索骥，根据相关知识来解决课后练习题。此时，学生对知识并未真正掌握，更谈不上发展和创新。把数学结论或题目进行逆推，有利于他们理解和掌握数学知识，甚至还能发现一些新的规律。教师要有意识地去挖掘数学教材中蕴含的互逆元素，设计互逆式问题，打破学生思维中的定势，即可收到事半功倍的效果。

例如，在学习“年、月、日”一课时，教师设计了一道开放题：小明从小到大过了3个生日，他今年可能是几岁？学生第一反应是3岁，有些学生根据闰年的知识，推想是12岁。可随着教师的板书（3、12……），学生重新思考后，发现到下一个闰年前，他都只过3个生日，所以，答案还可能是13、14、15岁。

在课堂教学中，有意识地去挖掘蕴含在教材中的互逆元素，把正逆思维交织在一起，精心设计练习和问题，避免学生孤立地用一种方法思考问题。既可以从条件出发解决问题，也可以从问题出发，逆推出必需的条件再解答，让学生双向思维并重。

三、 运用互逆思维多角度解决问题，培养创新思维

有些数学问题利用顺向思维解决难度大，甚至会妨碍问题的解决，不如逆向思维的解决方法简捷。若采用逆向思维思考，可以使问题更快得到解决的同时，收获别出心裁的解法。例如，习题：环湖自行车比赛，一选手出发1.5小时后，工作人员发现他的号码牌丢失，立刻由起点的工作人员开车送号码牌。已知环湖车道全长180千米，开车速度每小时45千米，这位选手每小时骑36千米，那么工作人员至少需要多少时间能送到号码牌？这道题没有提出怎么追，而是让学生来思考，需要突破既有的经验和思维定势――因为行程是封闭的环形，与常见的追及问题不同。如果学生首先思考“同向去追和反向去送哪个所用时间最短”，便能提前排除一情况，而不是按部就班地将两种情况都计算出来再比大小，就能减少思考和计算的时间。

在小学数学教学中，巧妙引进逆向思维设计问题，能拓展学生的创新思维。在进行“不规则图形的面积”练习中，如果由教师给条件和数据，就是一种解题思路的暗示，容易束缚学生的思维。反之，教师可以提供给学生完全没有数据的不规则图形，提问：“要求这个组合图形的面积至少需要几个数据？”这样开放的逆思考问题，有助于打开学生的思维定势，依学生的不同程度，有不一样的方案。这样的教学设计，让学生在取舍每一个条件时，对这个组合图形的面积计算有了多种解题预设方案，并在这些预设中选取所需条件最少的，实际上也就是解题过程的最优化。逆向思维能促进学生突破性思考，培养学生在实际问题情境中，多策略、有效地解决问题，而非遵从单一的思路。进行互逆解题训练，不仅巩固了基础知识，还能克服思维定势，多层次、多角度地研究问题，拓展学生的思维。

逆向思维是一种重要的思考能力，也是人们学习和生活中必备的一项能力。新课改背景下，培养和训练小学生的双向思维，是我们教学的一项重要任务。在小学数学教学中，教师要有意识地加强对学生双向思维的训练。学生通过训练，逐步具备较强的双向思维能力，在现实生活中，遇到常规思路难以解决的问题，就能另辟蹊径，达到“柳暗花明”的效果。这对于培养未来人才的创造力及解决问题能力都有着重要的意义，期待更多的教师能够注重双向思维训练，提高学生的思维品质。

（作者单位：福建省福州市仓山小学 责任编辑：王彬）