自制长方体魔具盒解决最短路径问题

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在初中数学学习中，学生大多接触的是平面图形，由平面图形过渡到空间图形，接受起来有一定难度.

在立体几何教学中，如果教师能借助一些自制数学教具使空间图形问题转化为平面图形问题，那么立体几何中的空间图形知识就比较容易被学生理解和接受.

因此，自制教具在数学教学中发挥着重要作用.

在教学中，使用一些简单的自制教具，作为指导和帮助，可以弥补教辅工具的不足，提高学生的学习兴趣，可以使抽象的问题具体化.

一、提出问题，激发兴趣

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图1

例如，在讲“棱柱的侧面展开图”时，遇到这样一个问题：如图1，有一个长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的无盖长方体箱子，一只苍蝇落在箱子的顶点G处，这时躲在箱子底部顶点A处的一只蜘蛛发现了它，这只蜘蛛如果沿箱子的内壁去捕捉这只苍蝇，那么蜘蛛爬行的最短路程是多少？学生遇到这个问题时，兴致很高，众说纷纭,都想第一个猜中答案,纷纷举手回答.其中一个同学满怀信心地说：“蜘蛛可沿路径AB-BF-FG爬行，长度为13cm.”另一个同学说：“不对吧，应该是沿路径AF-FG爬行长度是（62+32+4 ）cm.”接着又有同学提出反对意见:应该是沿AB-BG爬行长度是（62+32+42+32）cm.同学们各抒己见，气氛异常活跃.这时，我展示自制的“长方体魔具盒”，教室迅速安静下来，一双双渴求知识而又好奇的眼睛立刻注视着这个精美的盒子.“这是我课下自制的长方体魔具盒，请大家仔细观察，接下来就是见证奇迹的时刻”.我将盒子沿棱BF展开相邻的两个侧面，得到了一个RtAGC，如图2.

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图2

我引导学生分别连接AF、FG、AB、BG，进一步探究由A到G的最短路径，并和学生前面的答案进行比对.由于学生早已掌握和了解“两点之间线段最短”的知识，大家立刻心领神会.当我再次提问：蜘蛛爬行的最短路径是多少？请大家计算这个长度.学生异口同声地回答：是RtAGC中斜边AG的长度.学生立马动手，利用勾股定理，很快计算出AG=(6+4)2+32=109（cm）.这时,学生脸上露出甜蜜的微笑，体验到了成功的喜悦.

二、因势利导，拓展延伸

在上例教学中，根据教学内容，教师不失时机地对自制“长方体魔具盒”的操作演示，将长方体沿一条侧棱展开相邻的两个侧面，使一个复杂的空间图形问题变成了平面图形问题，又借助“两点之间线段最短”的公理和“勾股定理”，使问题迎刃而解，充分体现了数学教具在课堂上的重要作用，和“数”“形”结合的数学思想，培养了学生的学习兴趣，激发了学习热情.我看到同学们兴致很高，因势利导，又向同学们提出了第二个问题：

如图3，有一块长、宽、高分别是15cm、8cm、10cm的长方体木块.一只蚂蚁要从木块的一定点A处沿长方体的表面爬到和A相对的顶点G处吃食物，那么蚂蚁爬行的最短路径是多少？可以说,沿长方体的表面由顶点A到顶点G的路径有很多条，但最短路径还是只有一条.这时,我再次向同学们展示“长方体魔具盒”, 将长方体魔具盒沿相邻的三条棱BF、EF、EH展开相邻的两个侧面，分别得到了RtΔAGC、RtΔAGH、RtΔAGF.如图4.

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学生顿开茅塞，恍然大悟，在教师的引导下，根据勾股定理很快计算出如下结果：

对上述三种结果加以比较，学生很快得知蚂蚁沿长方体表面由顶点A到相对顶点G的最短路径为549cm.