试论数学解题中的构造方法

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构造方法是直觉主义学派倡导的观点方法，就是根据题设条件和结论所具有的特征、性质，按照某种固定的方式构造出满足条件或结论的数学对象，经过有限步骤能够实现的方法.这种方法具有描述的直观性和现实的可操作性.

基本思路当某些问题按常规方法难以解决时，根据条件和结论的特征、性质展开联想、类比，从一个目标联想到我们曾经使用过并能达到目的的方法手段，进而构造出解决问题的特殊模式［１］.

构造法可按照要解决的问题的方向、构造物及作用等标准划分，本文以构造物的作用划分成以下几种类型.

一、构造函数

证明柯西不等式

（ab）≤（a）（∑b）?摇?摇?摇?摇（a，b∈R）

分析：要证明的形式即

（ab+ab+…+ab）≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）

形式与二次方程判别式相近，启发我们构造多项式函数P（x）=（a+a+…+a）x-2（ab+ab+…+ab）x+（b+b+…+b）.

容易看出P（x）=（ax-b）+（ax-b）+…+（ax-b）≥0

所以判别式=4（ab+ab+…+ab）-4（a+a+…+a）（b+b+…+b）≤0

即结论成立.

二、构造方程

例：已知a，b为不相等的实数，且有a+3a+1=0，b+3b+1=0，试求+的值.

因a、b均有两个不同的值，若要分别求出的值分类计算时要做四次运算，相当繁琐，注意到满足同一条件，因而可考虑以为二根的一元一次方程x+3x+1=0.由韦达定理得a+b=-3，ab=1后整体代入，问题便迎刃而解.

例：已知（a+c）-4（a-b）（b+c）=0，求证a-c=2b.

分析：条件类似于b-4ac=0，联想到以此为判别式的一元二次方程x-（a+c）x+（a-b）（b+c）=0有等根，即a-b=b+c，得a-c=2b.

三、构造模型

证明：C=C+C

可构造如下模型：

在a，a…a中任取n+1个元素，有C种取法，取出的n+1个元素中是否含有某一指定元素如a，有且只有两种情形：

含a：只需a在a到这m个元素中取出n个，有C种取法.

不含a：只需a在到a这m个元素中取出n+1个，有C种取法.

由分类计数原理共有C+C种结论得证.

四、构造图形

课本中推导两角和与差的余弦公式时根据三角函数的定义在单位圆中构造了两个全等的等腰三角形，由此可见其作用之重要，下面说明几种构造图形的常见方法.

4.1构造两点间的距离。

例：已知x+y=1，求证（x+1）+（y+1）≥.

分析：考虑到以x+y=1为方程的动点M（x，y）的轨迹是条直线，而（x+1）+（y+1）为M（x，y）到定点P（-1，-1）的距离的平方，因而问题为P到直线x+y=1上的点的最小距离，即为到直线的距离，故

（x+1）+（y+1）≥=

（x+1）+（y+1）≥.

4.2构造两点确定的直线斜率。

例：求函数y=的值域.

考虑此式的几何意义是以（cosx，sinx）为坐标的动点M与定点P（2，0）确定的直线斜率，而动点M的轨迹是单位圆，以形辅数的f（x）的值域是［-，-］.

4.3构造点到直线的距离公式。

例：a，x，y∈R且x+y=1，证明：-≤y-ax≤.

注意到x+y=1表示以坐标原点为圆心的单位圆，直线y=ax即ax-y=0过圆心，因而圆上一点（x，y）到直线的距离d=≤1，即得-≤y-ax≤.

4.4构造三角形，应用正余弦定理。

例：设x＞0，y＞0，z＞0，求证：+＞.

因为x，y，z＞0且=表示以x，y为边，夹角为60°的三角形的第三边，其余两个式子具有类似意义。构造以O为定点的四面体O-ABC，使OA=x，OB=y，OC=z且∠AOB=∠BOC=∠AOC=60°.

则AB=

BC=

AC=

由于ABC中AB+BC＞AC，即证题设不等式.

4.5构造二次曲线，根据定义解决相关问题。

例：分别以6，7，9；6，8，8；6，6，10为三边的三角形中，面积最大的一组边长是?摇?摇 ?摇?摇.

解：考虑到三个三角形都有一边长是6，另两边之和等于16，由椭圆的定义知另一顶点在焦距长为6，长轴长为8的椭圆上，当另一顶点为短轴端点时，到对边的距离最大，即面积最大的一组边长是6，8，8.

最后需要说明的是，构造方法具有很大的灵活性，针对问题如何构造，这与个体的数学知识和经验密切相关.只有长期观察积累，逐渐内化为自己的经验，应用起来才会得心应手.

参考文献：

［1］孙名符等.数学教育学原理.北京：科学出版社，1996.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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