解概率题“五不要”

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一、不要将“不等可能事件”视为“等可能事件”

例1抛掷两颗均匀的骰子，求点数之和为奇数的概率．

错解：抛掷两颗均匀的骰子，当点数之和为奇数时，共有3，5，7，9，11 五种情况；当点数之和为偶数时，共有2，4，6，8，10，12六种情况． 点数之和为奇数的概率为P＝＝．

错因分析：错解误将抛掷骰子后得到点数之和为奇数的5种情况与点数之和为偶数的6种情况视为等可能事件．事实上，点数之和为奇数的概率与点数之和为偶数的概率是不等的．比如，当点数之和为2时，只可能有一种情况，就是第一颗骰子抛掷出的点数是1，第二颗骰子抛掷出的点数也是1；而点数之和为3时，可以有两种情况：①第一颗骰子抛掷出的点数为1，第二颗骰子抛掷出的点数为2；②第一颗骰子抛掷出的点数为2，第二颗骰子抛掷出的点数为1．也就是说，“抛掷骰子得到的点数为2” “抛掷骰子得到的点数为3”……这些事件并不是等可能事件. 只有在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相等，才可以使用古典概型公式P＝． 所以错解的解法不成立．

正解1：抛掷两颗均匀的骰子， 这两颗骰子的点数是在1～6这6个数中任选一个，抛掷骰子得到的点数之和共可能出现6×6＝36种情况． 要求抛掷骰子后获得的点数之和为奇数， 当第一颗骰子抛掷出的点数为奇数时，第二颗骰子抛掷出的点数必须为偶数；当第一颗骰子抛掷出的点数为偶数时，第二颗骰子抛掷出的点数必须为奇数， 共有3×3+3×3=18种不同的情况． 点数之和为奇数的概率为P＝＝．

正解2： 若把骰子的点数分为奇数和偶数两类，则在抛掷骰子的过程中，一共可能出现4种情况：①第一颗骰子抛掷出的点数为奇数，第二颗骰子抛掷出的点数为偶数；②第一颗骰子抛掷出的点数为偶数，第二颗骰子抛掷出的点数为奇数；③第一颗骰子抛掷出的点数为奇数，第二颗骰子抛掷出的点数为奇数；④第一颗骰子抛掷出的点数为偶数，第二颗骰子抛掷出的点数为偶数．以上4种情况是等可能出现的，要使抛掷骰子的点数之和为奇数，只有①②两种情况符合． 点数之和为奇数的概率为P＝＝．

二、不要将 “相互独立事件”视为“互斥事件”

例2甲袋中装有大小相同的红球4个，白球6个；乙袋中装有大小相同的红球3个，白球7个. 现从两袋中各取一球，求至少有一球是红球的概率．

错解：设事件A为“从甲袋中取一球是红球”，事件B为“从乙袋中取一球是红球”，则“从两袋中各取一球，至少有一个球是红球”为事件A与事件B的和事件. P（A）＝＝， P（B）＝， P（A+B）＝ P（A）+P（B）＝+=． 即从两袋中各取一球，至少有一球是红球的概率为．

错因分析：只有在事件A与事件B互斥时，才能使用互斥事件发生的概率公式P（A+B）＝P（A）+P（B）．在例2中，从甲袋中取出一个红球并不影响从乙袋中拿出一个红球．也就是说，事件A和事件B可以同时发生，因此它们不是互斥事件，而是相互独立事件．错解将事件A与事件B发生的概率相加，如图1所示，事件A与事件B同时发生的概率在运算中出现了两次，即在相加过程中出现了重复．

正解：由错解得，P（A）＝，P（B）＝． 事件A和事件B相互独立， P（A+B）＝1-P（•）＝１－P（）P（）＝１－［1-P（A）］［1-P（B）］＝1-1-•1-＝．

三、不要将 “不独立事件”视为“独立事件”

例3抛掷两颗均匀的骰子，求出现的点数不同且至少有一颗骰子抛掷出的点数为6点的概率．

错解：设事件A为“两颗骰子抛掷出的点数不同”，事件B为“至少有一颗骰子抛掷出的点数是6点”，则题目所求为事件A与事件B的积事件的概率． 要满足题意，可以从两颗骰子中抽取一颗，把这颗骰子抛掷出的点数定为6点，而另一颗骰子抛掷出的点数可以从6个数字中任意选择. 有且只能有一个骰子抛掷出的点数为6点， 应减去两颗骰子抛掷出的点数同为6点的情况， 共有••1-1=11种． P（A）＝＝，P（B）＝＝， P（AB）＝P（A）•P（B）=•=．

错因分析：如果事件A和事件B相互独立，则事件A和事件B可以同时发生，且其中一个事件的发生对另一事件的发生没有影响．错解使用了相互独立事件同时发生的概率公式P（AB）＝P（A）•（B），但在例3中，如果事件A“两颗骰子抛掷出的点数不同”发生且两个点数都不为6，则事件B不能发生，因此事件A和事件B不是相互独立事件．

正解：抛掷两颗均匀的骰子， 这两颗骰子的点数都是在1～6这6个数中任选一个， 抛掷骰子得到的点数之和共可能出现6×6=36种情况． 两颗骰子抛掷后出现的点数不同，且至少有一颗骰子抛掷出的点数是6点的情况有•5种， 所求概率为P＝＝．

四、不要将“非二项分布概率问题”视为“二项分布概率问题”

例4袋中有大小相同的10个球，其中7个为黑球，3个为白球．甲、乙、丙三人依次取出一个球，且取出球后不再放回，求甲、乙、丙恰有两人取到黑球的概率．

错解：由题意可知，甲、乙、丙三人每人取到黑球的概率为，取到白球的概率为， 三人中恰有两人取到黑球的概率为P＝×2×＝．

错因分析：错解将“取球后不放回”视为“取球后放回”，在“取球后放回”的情况下，甲、乙、丙三人从袋中取到黑球的概率都是相等的，这时问题属于“二项分布概率问题”．而在“取球后不放回”的情况下，甲、乙、丙三人取到黑球的概率都不相等，这属于“非二项分布概率问题”．

正解：甲、乙、丙依次取球且不放回，共有种的情况，其中恰有两人取到黑球的情况有种，所求概率为P＝＝．

五、不要将“有序”视为“无序”

例5某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，即可停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，求该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率．

错解：若选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则他连续答对了其中2题，错误回答了其余2题． 若使用捆绑法解题，可把选手连续答对的2题作为一组，和选手答错的另外2题放在一起，共分为三组，所求概率为P=×0.82×（1-0.8）2＝0.0768．

错因分析：根据题意，“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”，则该选手必定正确回答了第3题和第4题且错误回答了第2题，第1个问题可能答对，也可能答错． 用捆绑法解题，连续答对的2题必为最后2题，这一组的位置是固定的．错解将“有序”问题视为了“无序”问题，扩大了解题范围．

正解：由题意得，该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为P＝1×（1-0.8）×0.82＝0.128．・