一道数学题的六种解法

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例题 过点P（-2，0）作直线l，与圆x2+y2=1交于点A，B，若A恰为线段PB的中点，则弦AB的长为 .

分析 本题主要考查直线与圆的方程等相关知识.该题的入口较宽，在方程的视角下有多种解法.方程思想是通过分析数学问题中的数量间的等量关系建立方程，再对方程进行求解，从而使问题得到解决的数学思想.我们在解数学题时通常会有三个不同的角度，下面结合该题进行分析.

根据问题给出的条件，按照常规思路，建立相应的方程进行求解，但由于没有充分挖掘问题隐含的条件，有时解答过程会比较繁琐.

解法1 设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2），直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+2）.

联立方程y=k（x+2），x2+y2=1，消去x得（1+k2）y2-4ky+3k2=0.

又由A恰为线段PB的中点，得y2=2y1.②

小结 解法2利用A恰为线段PB的中点，通过“设而不求”建立方程，解出弦AB的长，由于避开了联立直线与圆的方程，求解的过程比解法1简短.

换个角度，我们根据问题的特点，挖掘问题的条件或适当创设一定的条件（如增添辅助元、辅助线等），结合其他的方法建立方程进行求解.

解法3 如图1所示，过原点作直线l的垂线交AB于点Q，连接OB，设|AB|=2t，则|BQ|= t，|PQ|=3t.

小结 解法3 挖掘了圆的几何性质，通过运用垂径定理列出方程并进行求解，使得解题过程简洁、明了.另外，我们也可以连接OA，在OAP和OAQ中利用余弦定理建立方程求解.

解法4 如图2所示，取OB的中点为D，连接AC，AD，OA，CD.根据题意，显然四边形ACOD是平行四边形，所以|CD|2+|OA|2=2（|OD|2+ 小结 解法4通过添加辅助线，将条件集中到平行四边形ACOD中，构建方程进行求解，由于辅助线较多，还要用到“平行四边形的四条边的平方和等于两条对角线的平方和”这个性质.学生能想到这种解法有一定的难度.

解法5 设|AB|= r，如图3所示，以P为圆心，以r、2r为半径分别作两个圆，两个圆分别经过点 A与点B，则圆的方程分别是（x+2）小结 解法5通过对问题展开联想，构造出两个辅助圆，解出两个圆与已知圆的交点，从而建立方程进行求解.该方法具有一定的创新性，对学生能力的要求较高.

还可以换个角度，根据问题的条件，通过观察、思考，我们能深刻认识到知识之间的联系，理解问题的本质，领悟命题者的意图，从而构建方程进行求解.这个角度通常需要解题者具有丰富的数学知识背景以及扎实的数学功底.只有站得高，才能看得远.

小结 解法6利用相交弦定理，抓住问题的本质，在变化中把握住不变的量，从而构建方程进行求解，求解过程显得异常简单.该解法对解题者提出了更高的要求.

（责任编校 周峰）