一个概念 八类考题
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平面向量知识除了要掌握平面向量的基本概念外，还要特别注意掌握平面向量的数量积，它是近年高考的热点. 下面以2011年全国各地的高考题为例，说明平面向量数量积常考的八类考题．
一、 求数量积
求数量积是平面向量中最基本的考题，运用公式a·b=a·bcosθ或坐标形式a·b=x1x2＋y1y2来解．
例1 ⑴ （福建文科卷）若向量a=（1，1），b=（-1，2），则a·b等于 ．
⑵ （上海卷）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则■·■= ．
分析 直接运用a·b=a·bcosθ或a·b=x1x2＋y1y2即可解题．
解 ⑴ 直接利用公式a·b=x1x2＋y1y2，可得a·b=1×（-1）＋1×2=1．
⑵ 由于■=■+■，则■·■=■·（■+■）=■2+■·■=■2+ ■ ■cos120°=9＋3×1×（-■）=■．
评注 应注意三角形的内角与向量的夹角是不同的概念． 向量■和■夹角是120°而不是60°，应特别注意．
二、 平行问题
这类题主要考查向量平行的充要条件． 若向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），其中a≠0且b≠0，则a∥b?圳x1y2-x2y1=0．
例2 （广东文科卷）已知向量a=（1，2），b=（1，0），c=（3，4），若λ为实数，（a+λb）∥c，则λ=（ ）
A． ■ B． ■ C． 1 D． 2
分析 先由坐标运算，得a+λb，再利用平行的充要条件，得到关于λ的方程，即可求得λ．
解 由题意，得a+λb=（1，2）+（λ，0）=（1+λ，2）．
因为（a+λb）∥c，得（1+λ）×4-2×3=0，所以λ=■．
故选B．
例3 （重庆文科卷）已知向量a=（1，k），b=（2，2），且a+b与a共线，那么a·b的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
分析 先由坐标运算，得a+b，利用平行的充要条件，解得k，再利用数量积得到a·b．
解 由题意，得a+b=（3，2＋k），又a+b与a共线，即a+b与a平行，得3k-1×（2＋k）=0，解得k=1，于是a·b=（1，1）·（2，2）=4． 故选D．
例4 （北京卷）已知向量a=（■，1），b=（0，-1），c=（k，■）． 若a-2b与c共线，则k= ．
分析 先由坐标运算，得a-2b，再利用平行的充要条件，得关于k的方程，从而求得k．
解 由题意，得a-2b=（■，1）-2（0，-1）=（■，3），又a-2b与c共线，即a-2b与c平行，得■×■-3k=0，解得k=1． 故填1．
三、 垂直问题
这类问题主要考查两向量垂直的充要条件． 若向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab?圳x1x2＋y1y2=0；或ab?圯a·b=0．
例5 （新课标全国文科卷）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k= ．
分析 由向量a+b与向量ka-b垂直，可知它们的数量积等于零． 再设a与b的夹角为θ，再结合数量积定义，即可解得k的值．
解 a与b为两个不共线的单位向量，则a=b=1．
因为向量a+b与向量ka-b垂直，
则（a+b）·（ka-b）=ka2+（k-1）a·b-b2=0，即k-1＋（k-1）cosθ=0，
所以（k-1）（1＋cosθ）=0，又a与b不共线，cosθ≠-1，于是得k=1．
例6 （江苏卷）已知e1，e2是夹角为■π的两个单位向量，a=e1-2e2， b=ke1+e2，若a·b=0，则k的值为 ．
分析 利用数量积公式，建立关于k的方程，从而获解．
解 a·b=（e1-2e2）（ke1+e2）=ke12+（1-2k）e1·e2-2e22=k+（1-2k）cos■-2=2k-■． 又a·b=0，则2k-■=0． 解得k=■．
四、 求模问题
若a=（x，y），则a2=x2＋y2，或a=■，求模有时还可运用平方法．
例7 ⑴ （大纲全国卷文科）设向量a、b满足a=b=1，a·b=-■，则a+2b=（ ）
A． ■ B． ■ C． ■ D． ■
⑵ （重庆卷）已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则2e1-2e2= ．
分析 直接利用公式a=■即可求模．
解 ⑴ a+2b=■=■=■
=■=■． 故选B．
⑵ 2e1-e2=■=■=■=■．
五、 求夹角
求夹角可用cosθ=■=■来解决．
例8 （湖北文科卷）若向量a=（1，2），b=（1，-1），则2a＋b与a-b的夹角等于（ ）
A． -■ B． ■ C． ■ D． ■
解 因为2a+b=（3，3），a-b=（0，3），设其夹角为θ，则
cosθ=■=■，即θ=■．
故选C．
例9 （安徽卷）已知向量a，b满足（a＋2b）·（a-b）=-6，且a=1，b=2，则a与b的夹角为 ．
解 由（a+2b）·（a-b）=-6，则a2+a·b-2b2=-6，即12+a·b-2×22=-6，a·b=1，所以cos（a，b）=■=■． 故a与b的夹角为■．
例10 （江西卷）已知a=b=2，（a+2b）·（a-b）=-2，则a与b的夹角为 ．
解 根据已知条件（a+2b）·（a-b）=-2，去括号得
a2+a·b-2b2=4+a·b-2×4=-2，则a·b=2，
所以cos（a，b）=■=■．
故a与b的夹角为■．
六、 辨析型问题
例11 （新课标全国卷）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：a+b>1?圳θ∈［0，■）； p2：a+b>1?圳θ∈（■，π］；
p3：a-b>1?圳θ∈［0，■）； p4：a-b>1?圳θ∈（■，π］．
其中的真命题是（ ）
A． p1，p4 B． p1，p3 C． p2，p3 D． p2，p4
解 若a+b>1，两边平方得a2+b2+2a·b>1，则1+2cosθ>0，即cosθ>-■，解得θ∈［0，■）． 反之也成立． p1是真．
若a-b>1，两边平方得a2+b2-2a·b>1，则1-2cosθ>0，即cosθ
故选A．
七、 求向量
例12 （湖南卷文科）设向量a，b满足a=2■，b=（2，1），且a与b的方向相反，则a的坐标为 ．
解 由a与b方向相反，可设a=k（2，1）=（2k，k）（k＜0），则
a=■=■k=-■k，又a=2■，解得k=-2．
故a=（-4，-2）．
八、 最值问题
主要考查模及夹角等的最值．
例13 （天津文科卷）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则■+3■的最小值为 ．
分析 画出梯形，建立直角坐标系，将向量问题坐标化，利用向量的数量积有关知识，转化二次问题，用配方法来解决．
解 以直角梯形的D点为坐标原点，DA边所在直线为x轴，DC边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设C（0，c），P（0，x），则A（2，0），B（1，c），则■=（2，-x），■=（1，c-x），所以■+3■=（5，3c-4x）=■≥5，故其最小值为5．
点评 将向量问题坐标化，可利用解析法来解决．