例谈数学题中隐含条件的挖掘
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【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2016）03―0121―01
从某种意义上讲，解数学题是一个从题目所列条件中不断地挖掘并利用其中的隐含条件，进行推理和运算的过程.本文结合教学中的几个典型例子，剖析解题时导致错误产生的原因以及如何注意挖掘题目中的隐含条件。
一、 挖掘隐含集合元素的条件
例1 已知集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A∩B={3，7}，求实数a的值.
正解：A={2，3，a2+4a+2}，A∩B={3，7}.
a2+4a+2=7，解得a=1或a=-5.
当a=1时，A={2，3，7}，B={0，7，3，1}，符合条件.
当a=-5时，A={2，3，7}，B={0，7，3，7}，不符合集合元素互异性这一条件，应舍去.
实数a的值为1.
分析：这道题容易出错的原因是学生忽视挖掘集合元素的条件，即互异性和无序性，所以在解得a=1或a=-5后，不去检验集合B是否成立.
二、挖掘隐含某一变量的条件
例2 已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，试求x2+y2的取值范围.
错解：由x+2y=1，得x=1-2y.
则x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+.
y≥0， 5（y-）2+≥.
即x2+y2≥， x2+y2的取值范围为[，+∞].
分析：导致错误的原因是已知条件中给出了两个变量的范围，又给出了两个变量的等量关系，要运用此等量关系将所求式子转化为某个变量的二次函数式，还隐含了要利用此等量关系求得某个变量的范围.
正解： x≥0， x=1-2y≥0 ，解得y≤，
又y≥0 ， 0≤y≤.
x2+y2=（1-2y）2+y2=5（y-）2+，
当0≤y≤时，≤5（y-）2+≤1 .
≤x2+y2≤1. x2+y2的取值范围为[，1].
三、挖掘隐含函数奇偶性的条件
例3 已知函数f（x）=ax5+bsin3x+10，且f（3）=5，求f（-3）的值.
正解：设g（x）=ax5+bsin3x，则g（x）为奇函数，f（x）=g（x）+10.
所以f （-3）=g（-3）+10=-g（3）+10=-[f （3）-10]+10=15 .
分析：这道题容易出错的原因是忽视挖掘函数奇偶性这一条件.通常求函数值应有确切的函数解析式，本题是涉及两个参数a，b的解析式，只给出f （3）=5这一条件，无法求得参数a，b的值.仔细观察由f （3）=5，求f （-3）的值，启发我们联想函数的奇偶性，不难发现解析式中隐含着g（x）=ax5+bsin3x是奇函数这一条件，于是问题迎刃而解.
四、挖掘隐含向量夹角是锐角的充要条件
例4 已知向量=（1，2），=（1，m），试确定实数m的取值范围，使得与的夹角为锐角.
错解：・=1+2m>0，与的夹角为锐角.
・>0，即1+2m>0，解得m>-.
实数m的取值范围是（-，+∞）.
分析：导致错误的原因是忽视隐含向量夹角是锐角的充要条件.对两个非零向量与，如与的夹角θ为锐角，则・>0，反之，则不一定成立.这是因为当・=
cosθ>0时，与的夹角θ也可能为0.因此与的夹角θ为锐角的充要条件是・>0且与不同向，这样在上述m的取值范围（-，+∞）中应除去与的夹角为0的情况.
与的横坐标都是1，
当m=2时，与同向.
实数m的取值范围是（-，2）∪（-2，+∞）.