判定四边形为平行四边形的几种组合

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇判定四边形为平行四边形的几种组合范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

例已知四边形ABCD，仅从下列条件中，任取两个加以组合，能否判定四边形ABCD是平行四边形？你认为最多可以有多少种组合，请写出来.

（1）AB∥CD，（2）BC∥AD，（3）AB = CD，

（4）BC = AD，（5）∠A = ∠C， （6）∠B =∠D.

分析：若仅从6个条件中任选2个组合，应该有5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15种.但究竟哪些能判定四边形ABCD是平行四边形呢?

解：根据教材上有关平行四边形的判定方法，容易判定的组合有

（1）、（2） 两组对边分别平行的四边形为平行四边形.

（1）、（3）或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

（2）、（4）

（3）、（4）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

（5）、（6）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

以上讨论的5种情况，还只是可能的15种组合中的三分之一，剩下的那些组合，我们借用表格对它们作出完整的分析.

（1）、（2）

（1）、（3）（2）、（3）

（1）、（4）（2）、（4）（3）、（4）

（1）、（5）（2）、（5）（3）、（5）（4）、（5）

（1）、（6）（2）、（6）（3）、（6）（4）、（6）（5）、（6）

表中列举出所有的组合，并将上面已经能判定四边形ABCD是平行四边形的组合用“粗黑体”标记. 剩下的组合可以分为三种类型讨论.

（Ⅰ）表中（1）、（4）；（2）、（3）组合，指有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形？

作等腰梯形ABCD，AB∥CD、BC = AD（图 ）符合（1）、（4），但四边形ABCD不是平行四边形.同理（2）、（3）也不能得到四边形ABCD是平行四边形.

（Ⅱ）表中（1）、（5）；（2）、（5）；（1）、（6）；（2）、（6）条件相同，指有一组对边平行，一组对角相等，这样的四边形是不是平行四边形？以（1）、（5）为例说明如下.

因为AB∥CD（图 ），所以∠B + ∠C = 180O.

又因为∠A = ∠C，

所以∠B +∠A = 180O.

因此AD∥BC，得到四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）.

同理（2）、（5）；（1）、（6）；（2）、（6）组合，也能判定四边形ABCD是平行四边形.

（Ⅲ）表中（3）、（5）；（4）、（5）；（3）、（6）； （4）、（6）条件相同，意思是有一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形？以（3）、（5）为条件说明如下.

先作BCE，再经过A、C、E三点画圆O（即图 ），根据圆是轴对称图形，显然能在圆内作弦CD，并使CD = CE，由于同弧所对的圆周角相等，于是有 ∠D =∠E. 那么，四边形ABCD中：一组对边相等，一组对角相等，即AB = CE =CD，∠B = ∠E = ∠D，但不是平行四边形，也就是说图中满足（3）、（5），但不能得到四边形ABCD是平行四边形.

同理（4）、（5）；（3）、（6）；（4）、（6）组合，也不能判定四边形ABCD是平行四边形.

注：以上的说明过程不要求同学们掌握，只需要举出一个反例就可以了.

综上所述，共有9种组合符合要求.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”