概率中的“至多” “至少”问题

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【摘 要】 概率中涉及“至多”“至少”这一类型问题，如何处理，这里给出一种简单而快捷的处理办法。

【关键词】 “至多”；“至少”；处理办法

在概率的学习中，同学们经常会遇到“至多”“至少”问题，一时觉得难以处理，常常束手无策，怎么办？

其实，我们完全可以利用对立事件来处理，至多至少问题它包含一系列事件，若一一去探讨，非常麻烦。而它的对立事件则往往比较简单，如：

例1：某人对靶板连续射击8次，他每次命中靶板的概率为0.8，他每次射击互不影响。问：他至少命中一次的概率是多少？

解：这包括8次命中8次，8次命中7次，8次命中6次，8次命中5次，8次命中4次，8次命中3次，8次命中2次，8次命中1次。则P（A）=C（8∶8）p8+C（8∶7）p7（1-P）+C（8∶6）p6（1-P）2+C（8∶5）p5（1-P）3+C（8∶4）p4（1-P）4+C（8∶3）p3（1-P）5+C（8∶2）p2（1-P）6+C（8∶1）p（1-P）7=0.9999974

但是，我们把上述一系列事件看成一个整体事件A，它的对立事件就是：射击8次一次都没有打中A-，P（A）=1-P（A-）=1-（1-p）8=0.9999974

显然，这样比上面的解法简单的多。

例2：甲乙二人独立解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是多少？

解：这包括甲解决乙没解决，乙解决甲没解决，甲乙同时都解决。

P（A）=P1+P2-P1P2

同样，我们把上述三个事件看成一个整体A，它的对立事件就是：甲乙都没有解决，于是有：P（A）=1-（1-P1）（1-P2）=P1+P2-

P1P2。

例3：某人投球命中率为2/3，现连续投5次，则至多命中4次的概率为多大？

解：直接做法，p（A）=C（5∶1）（2/3）（1/3）4+C（5∶2）（2/3）2（1/3）3+C（5∶3）（2/3）3（1/3）2+C（5∶4）（2/3）4（1/3）=211/243

间接做法，p（A）=1-C（5∶5）×（2/3）5

=211/243

即：连续投5次，则至多命中4次的对立事件就是投5次全命中。

在以上几例中，都使用了对立事件。

因为：P（A）+P（A-）=1

可以看出：使用间接做法要比直接做法简单的多，对于至多至少问题，使用对立事件明显简单。有些问题不满足对立事件，可以创造条件使用对立事件，因此我们说“至多至少找对立”。

在数学解题中，不墨守成规，善于思考问题，处理问题，多角度多层次思考问题，灵活处理各种各样的问题，让思维处于最活跃状态，是我们解题的精髓。我们不是为解题而解题，解题是为了提高我们分析问题解决问题的能力，这才是我们学习数学的真正目的，不然，为解题而解题，就是应试教育，应试教育只要求会就行，不问为什么，对我们的能力没有多大提高，反倒使我们的大脑越来越僵化，谈不上知识的灵活运用，更谈不上创造。只有夯实基础，才能有所建树，只有开阔视野，才能面向未来，只有学会变通，才能适应形势。

通过概率中的至多至少问题的解决，冀以达到举一反三抛砖引玉的作用，也许对正在学习概率的同学有一定的启发，解题时把发散思维和集中思维结合起来，这就可以收到意想不到的结果。