黄金分割法及其应用

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【摘要】本文从黄金分割法的基本思想出发，推导出黄金数0.618，并且给出这一方法的使用步骤，详细地阐述了它在实际问题中的应用。

【关键词】黄金数 搜索点 最优值

1.引言

单因素（单变量）最优化问题是最普遍的极值问题，它在实际问题中有着许多直接的应用。在大量的实际问题中，我们经常无法将所论问题的目标函数用一个明显的数学式子表达出来，或者虽然能够用数学式子表达出来，却难于进行解析处理，这时就需要采用做试验的方法。按照所论问题的要求，直接从试验结果，逐步搜索地向最佳点逼近。黄金分割法（或称0.618法）是单因素最优值的一种搜索方法，下面我们从黄金分割法的基本思想出发推导出黄金数，然后给出这一方法的使用步骤，并且通过具体例子说明这一方法在实际问题中的应用。

2.黄金分割法

黄金分割法适用于区间[a，b]上任何单峰函数f（x）求最优值的问题。其基本思想是：在搜索区间[a，b]内适当插入两点x1，x2，它们将[a，b]区间分成三段，通过比较这两点的函数值的好坏，（根据具体的问题而决定）确定删去最左段或最右段，这算迭代一次；然后再在保留下来的区间上做同样的处置。如此迭代下去，可将搜索区间无限地缩小。现在提出一个问题：在每次迭代中如何确定两个插入点的位置？

2.1 黄金数0.618的由来

设区间[a，b]的长度为1，在与点a相距分别为β和α的点处插入xl，x2。为确定α和β提出如下条件：　（1）xl，x2在[a，b]中的位置是对称的。这样无论去掉哪一端，总是保留长为p的区间，也就是说，

ax2=x1b 即α+β=l（*）

其中ax2 x1b 分别表示区间[a， x2]、[x1，b]的长度。

（2）无论删去哪一端，例如删去[x1，b]，在留下的区间[a，x1]里再插入一点x3，使得x2、x3，在[a，x1]中位置与x1、x2在[a，b]中的位置具有相同的比例。这就保证每次迭代都以同一比率β缩短区间，根据这一条件有：

ax2ax1=ax1ab 即 αβ=β1 （**）

联立（1）、（2）式得： β2 +β-1=0。

解出β≈0.618（另一个根舍去），此时α=1-β≈0.382

2.2 黄金分割法的使用步聚：

（1）确定目标函数f（x）的初始搜索区间[a，b]，迭代精度ε；

（2）计算第一个试验点x1=a+0.618 （b-a），计算第二个试验点x2=a+0.382 （b-a）=a+b-x1；

（3）得试验结果，若│x1-x2 │

（4）3.实际问题中的应用

例 一个用煤做燃料的锅炉，为了助燃安装一台鼓风机。但是若风速过大，将有煤粉随烟气从烟窗里飞出；若风速过小，温度不高影响生产，又使煤不能充分燃烧，烟气中含煤量大冒出黑烟。已知最佳风速在5～20米/秒范围内，试求最佳风速，使烟气含煤量最小（到搜索区间长度不超过2为止）。

分析：设风速为x米/秒，烟气中含煤量为y，由题意可知y=f（x）。数学模型为：求最优值x，使得满足ymin=f（x）5≤x≤20

现在使用黄金分割法求最佳风速x，试验结果如下：

经过四次迭代，比较知最佳风速为：

x*= 0.5（16.4+14.3） =15.35m/s

参考文献

[1] 韦鹤平.最优化技术应用.同济大学出版社，1987.3，92 -95

[2] 朱儒揩，黄皓，朱开永.非线性规划.中国矿业大学出版社，1990.5， 47-51.

[3] 赵宏量，骆振华，齐国政.简明实用运筹学.西南师范大学出版社，1991.2，71-96.

[4] 吴文江，袁仪方.实用数学规划.机械工业出版社，1993.3，262-266.