挖掘教材潜力,引导学生领悟数学美

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长期以来，在中学数学教学中，人们往往只重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透。不善于发掘数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣；不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，更谈不上引导学生创造数学美，以致一些学生感到数学抽象枯燥乏味，失去学好数学的信心。其实，数学中处处蕴涵着美――数学的对称与和谐，简单与明快，奇异与突变，严谨与统一，无不给人以美的享受、美的感染。

美国数学家克莱因对数学美做过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。”无数实践证明，数学美对于人们进行数学创造具有重要意义。因此，在数学教学中，教师应结合教材，充分挖掘教材潜力，充分展示教材的数学美，使学生受到美的熏陶，同时激发他们的创新意识，培养他们的创新能力，帮助他们树立学习的信心，激发学习潜能，在学习中获得愉悦感。

一、数学史的发展美

随着数学教学改革的逐步深入，数学史越来越受到数学教育教学工作者的重视。一些历史的例子可以古为今用，可以被开发出来作为阐释某些深奥数学概念和思想的教学载体。数学史的发展美包括两个方面：一方面是学知识体系的发展美。如数系的发展、坐标系的引入、微积分的发展等。既可以增加学生的知识面，扩大学生的视野，又可以使学生从这些史实中了解相关的数学知识与方法产生的历史背景，体会其中的思想、方法和创立一门新学科的艰辛。另一方面，天才数学家留下的许多有趣的故事，体现了人类的智慧。数学先驱的严谨态度值得我们学习，他们的献身精神值得我们景仰，他们的经验教训值得我们借鉴，他们追求整理的精神值得我们感动。

二、表达形式的简洁美

数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单，而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。爱因斯坦曾说：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论在数学界也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。

欧拉给出的公式：V-E+F=2，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。

正弦定理：ABC的外接圆半径R，则===2R。

绝大部分数学公式都体现了“形式的简洁性，内容的丰富性”。正如伟大的希尔伯特所说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着。”如笛卡尔坐标系的引入，对数符号的使用，复数单位的引入，微积分的出现都体现了数学外在形式的简洁，内容的深厚。

三、数学知识的和谐美

数学知识的和谐美是数学的普遍形式。教学时，教师不但要对这种美有较深刻的领悟，而且要能艺术地表现出来。例如：推导椭圆的标准方程时，由定义“到两定点F（c，0）和F（-c，0）距离之和为定长2a的点的轨迹”可直接写出方程+=2a。这个方程能正确地表达椭圆的代数形式，但比较复杂，更不便于计算，故化简最终整理成+=1（a＞b＞0）。方程中的b开始似乎纯粹是为了追求方程的和谐美而引进的，但在研究椭圆性质时，可进一步发现a、b恰好为椭圆的长、短半轴长，竟有鲜明的几何解释。人们内心世界所追求的美恰好在外部世界得到如此完美的表现，这实际上也体现了美与美之间和谐的统一。教师在推导过程中的示范，唤醒了学生的审美意识，学生也进入美的境界，从而得到美的享受。在此基础上，让学生根据定义画出椭圆，且要求他们用生动形象的数学语言表达自己的思维活动。这样，在让学生感受和体验美的同时，激励他们创造美，使数学美在教学中的作用发挥得淋漓尽致。

再如欧拉公式：e=-1，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣莫弗―欧拉公式是cosθ+isinθ=e（1）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――的确是“天作之合”。因为，由他们的结合能派生出许多的美、有用的结论。比如，由公式（1）得cosθ=,sinθ=。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。

和谐的美，在数学中多得不可胜数。如著名的黄金分割比λ=，即0.61803398…，在正五边形中，边长与对角线长的比是黄金分割比。又如在椭圆+=1（a＞b＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B，若该椭圆的离心率为λ=，则∠ABF=。这样的椭圆不妨称之为“优美椭圆”。黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。达・芬奇称黄金分割比λ=为“神圣比例”。他认为：“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上。”如名画的主题，大多画在画面的０.618处；弦乐器的声码放在琴弦的０.618处，会使声音更悦耳。

数学中的重要思想方法之一――数形结合法更体现了“数”与“形”的和谐美。

四、数学中的对称美

在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。事实上，译自希腊语的这个词，原意是“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。对称不仅美，而且有用。数学中的对称美有：（一）数和式的对称美。如二项式定理、杨辉三角。（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维，等等。

五、数学发展过程的统一美

数的概念从自然数、分数、负数、无理数扩大到复数，经历了无数坎坷，范围不断扩大，对数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否把复数的概念继续推广。英国数学家哈密顿苦苦思索了15年，没能获得成功。后来，他“被迫作出妥协”，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a+ai+aj+ak（a，ai，aj，ak为实数）的数，其中i、j、k如同复数中的虚数单位。若a=a=0，则四元数a+ai+aj+ak是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希尔伯特所说：“追求更有力的工具和更简单的方法。”

六、数学结果的奇异美

奇异性是数学内涵美的又一基本内容。它是指所得的结果新颖奇特，出人意料。七巧板拼图是小学数学课常采用的内容。用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案，如人形、鸟兽、花草、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生感到图案之多，出人意料；图形之美，妙趣横生。

有趣的数学知识能让学生感受到不同的美，而且利用数学的奇妙能装扮人们的生活。比如：搞服装设计，如果应用黄金分割的知识，作品就会让人赏心悦目。巴赫的音乐中充斥着数学的对称美，埃及的金字塔在建筑线条上凝聚了多少形象的数学……真可谓哪里有数学，哪里就有美。

在全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近50年的最佳数学问题”，其中有一道相当简单的问题：有哪些分数，不合理地把b约去得到，结果却是对的？经过一种简单计算，可以找到四个分数：,,,。这个问题涉及“运算谬误，结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不也展现了一种奇异美吗？

人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：

到定点距离与它到定直线的距离之比是常数ｅ的动点的轨迹，

当e＜1时，形成的是椭圆；

当e＞1时，形成的是双曲线；

当e=1时，形成的是抛物线.

常数e由0.999变为1、变为1.001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。

这也体现了哲学中的量变到质变。数学中也蕴含哲学，这不是很美吗？教师平时要多注意总结、积累，提高自己的欣赏水平，同时也应引导学生多去发现。

七、数学应用之美

数学理论不管离现实多远，最后总能找到它的实际用途，体现其为人类服务的价值取向。数学不但是其他自然科学的一门工具性学科，同时还广泛应用于现实生活。

数学之美，还可从更多的角度去审视。数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。上面只是就某些侧面谈一些看法。而每一侧面的美都不是孤立的，它们是相辅相成、密不可分的，如和谐美中包含统一美，统一美中也包含和谐美。

古代哲学家、数学家普洛克拉斯说得好：“哪里有数，哪里就有美。”数学的美，需要人们用心、用智慧深层次地去挖掘，更好地体会它的美学价值，丰富、深邃的内涵和思想，以及对人类思维的深刻影响。如果在学习过程中，我们能与数学家们一起探索、发现，从中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。

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