巧构造,三角形面积解难题

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【摘要】美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学的理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。构造法是数学中一种非常重要的数学方法，古希腊天才数学家欧几里得曾用构造法证明了《几何原本》中著名的欧几里得定理，他算得上是数学上“构造法”的创始人。【关键词】解决数学问题 构造法

在解决数学问题过程中，由于某种需要，常常采取的思维方式是：通过对问题条件和结论的观察、分析、联想以及猜想，恰当地构造出一种构造物，在这种“构造物”中完全体现了原来问题的关系和条件，并且表现得清晰和易于处理。如果在这“构造物”中问题获得解决，那么原问题也就解决了。在这个过程中，思维的创造活动的特点是“构造”，即为构造性思维。应用构造性思维去发现数学新理论、解决数学新问题的方法，称为构造法。构造法的关键在于寻找到合理的数学模型，一旦运用成功，它所呈现的是问题的本质规律和数学的内在美，往往给人耳目一新的感觉。

在初中平面几何中有一类问题如果用常规解题思路比较难以求解，或者老师分析了一大通而学生还是摸不着头脑，但如果构造了三角形面积这个“平台”以后，思路便会很清晰简便。下面举例介绍构造了三角形面积解题的几种类型。

一、证明线段相等

例1.已知：AD是ABC的中线，CFAD于F，BEAD交AD的延长线于E.

求证：BE=CF

证明：由BD=DC可知，SABD=SACD

即： 1×DF×CN

BE×CM=DF×CN

又 BE=DF CM=CNCMBE，CNDFCG平分∠BGD

评注：本例直接证明∠BGC与∠DGC相等来说明CG平分∠BGD比较烦琐，甚至感觉无从下手。如果从另一个角度考虑到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，由点C作CMBE，垂足为点M，CNDF，垂足为点N后，再把CM，CN分别作为BEC与CFD的高，分析BEC与CFD的面积与平行四边形ABCD的面积关系就可以解决问题了。

由这几类构造“三角形面积”来解题的方法可以看出这种方法具有下述特点：

(1)在构造性思维过程中，常常要伴随观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动而进行。

(2)构造性思维有时体现在解决问题的全过程中，有时也体现在解决问题的某个关键环节或步骤中。

(3)在构造的“框架”上，必须在有限的步骤内能具体实现。

总的来说构造法作为一种数学方法，属于非常规思维，带有试探性、不规则性和创造性。用它解题，见解独特，不蹈常规，对于培养学生思维的敏捷性和创造性能力具有重要的意义。用构造法解题时一般可通过构造方法、图形、反例等以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得到解决。