例说添加辅助线的策略

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几何题千变万化，添加辅助线的方法各有不同.表面看如何添加线无章无循，无法可依，其实并非如此.无论什么样的几何题必存有图形和条件（包括隐含条件）这两方面.因而我们可以据图形的特殊性添加辅助线；据条件的特殊性添加辅助线；还可以两者兼顾添加辅助线.这是解证几何题的基本策略.

下面仅就一道“缙云杯”竞赛题，试说添加辅助线的方法.

题目 如图1在ABC中，AB=AD=2，AC=4，BD∶DC=2∶3.求证：ABC是直角三角形.

一、据图形的特殊性添加辅助线

添法一：从图形看因为AB=AD=2，所以可据等腰三角形性质添加底边上的高的辅助线.如果图2作AHBC，H为垂足.

设BD=2k，CD=3k，

则BH=k，HC=4k，

据勾股定理易求 k=255，从而BC=25.往下略.

添法二：因为任何一个三角形都有外接圆，故可添ABC的外接圆如图3，AD的延长线交外接圆于E，连结BE、CE.设BD=2k，CD=3k，据相交弦定理，易求DE=3k2.由三角相似易求BE和CE，再据圆内接四边形两条对角线的积等于两组对边乘积的和（托勒米定理）易求 k=255，从而使问题获解.

添法三：把ABC放在直角坐标系中如图4、图5、图6、图7.

简解图6，易知点B（0，0）、点A（2，0），过点D作DHx 轴、H为垂足.

设BH=x，BD=2k，CD=3k，则有

BD2-BH2=AD2-HA2，

即 4k2-x2=4-（2-x）2，

解得 x=k2.

易求DH=4k2-k4，所以点D坐标为（k2，4k2-k4），由相似易求点C坐标为（5k22，524k2-k4）.又点A（2，0），AC=4，据两点距离公式易求 k=255，略.

二、据条件的特殊性添加辅助线

添法四：由AB=AC=2，可添以A为圆心，以AB=2为半径添加圆的辅助线，交AC于点E，交CA的延长线于点F，如图8，设BD=2k、CD=3k，据割线定理得

CD•BC=CE•CF，

即3k•5k=2×6，

解得 k=255.略.

添法五：由BD∶DC=2∶3，可添图9、图10、图11、图12、图13、图14（过C、D、B向其对边作平行线）.

简证图10.因为CE2∥AD，据三角形的平行关系易求，AE2=3，CE2=5.

又AC=4，易证AE2C为直角三角形，从

而易证ABC为直角三角形.

三、图形与条件综合添加辅助线，在同一个问题中、图形与条件是一个有机的整体，综合二者之间的内在联系添加辅助线是常用的方法，仅就前面添加辅助线的方法，也绝非是孤立的，只不过条件与图形主次之分罢了.

添法六：由Ｂ、D、C三点共线，且BD∶DC=2∶3，故可有添法如图15、图16、图17，其证法留给读者.

此题若设BD=2k，CD=3k 时图中每个三角形的三条都已确定，故可用三条边求角用余弦定理可解此题，这里不再累述了.

（初三）