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我们所使用的数学教材中的很多几何题都是由基本元素(基本题或基本图形(特别是例题!))组合而成的,许多题都是相互关联的。只要我们将一些基本题进行简单的“改头换面”,就可以组成一个“崭新”的数学题。现举例说明如下。
数学教材中有这样一个证明题:
如图,O1与O2内切于T,直线AB、CD都经过点T
交O1于A、C,交O2于B、D 。
求证:AC∥BD.
证明:过TA作公切线TM,
∠3是弦切角,∠1=∠3=∠2
AC∥BD
这个证明题是很简单的,可以说是“基本题”。正是这种“简单”,正是这种“基本”,才给我们留下了太多的思考。
下面,我们就来看看它的几种“简单”的变换:
变式1 原“题设” (01与02内切于T,直线AB、CD都经过点T交O1于A、C交O2于B、D)不变,把结论变成:“求证:TA: TB = TC:TD。”
变式2如图2,原题设(01与O2内切于T,直线AB、TD
都经过点T交O1于A、O2 ,交O2于B、D)不变,
增加条件“TD是大圆O2的直径,且点O2在小O1上”,
结论改成“求证:点A是TB的中点”。
变式3在“变式2”中,题设(01与O2内切于T,
直线AB、TD都经过点T交O1于A、O2 ,交O2于B、D,TD
是大圆O2的直径,且点O2在小O1上)不变,二把结论变成“求证:弓形TmB和弓形TnA的面积之比为4 :1”。
上面三个题的证明是很简单的。它们都是在上题题设不变的情况下,改变“结论”而得到的。
事实上,教材中有很多这样的题。只要将这些基本题稍加改变就可以达到训练学生的目的。如下面一组题就是改变原题的“条件”而得到一组题:
变式4如图3,O1与O2内切于T,TD是
大O2的直径,圆心O2在小O1上,过O2作大
O2的半径O2F交小O1与E,交大O2于F。
求证:劣弧TE和劣弧TF的长相等。
变式5如图4,在原题中,题设(01与02内切于
T,直线AB、CD都经过点T交O1于A、C,交O2于
B、D )不变,再增加条件“设BD切小圆O1与F,TF是
小圆的直径,且大圆和小圆的半径分别为R和r ”。结论
改为“求证: BF2BT2〗= R-rR”
略证:连结O1A、O2B
有平行线的性质定理切割线定理即可证明。
变式6如图4,原题设(01与02内切于T,直线AB、CD都经过点T交O1于A、C,交O2于B、D交O2于B、D)不变,增加条件“ BD切小圆O1与F,TF是小圆的直径”,结论改为:“求证,则BF :FD=BT : TD”。
变式7在“变式5”题设下,结论则变为“求证:
(1) ∠BTF=∠DTF⑵ SABF DEF= sin∠D sin∠B”
略证: 由切线的性质、弦切角定理和三角形全等即可证明。
变式8 如图,O1与O2内切于T,直线TB交O1于A、
交O2于B,O2的直径TDBC,圆心O2在O1上。结
论则变为“求证: TA AB 〗= TB2DB2〗”
略证:由题意易知,TO2A、TO2B、TDB是直角三角形
由平行线性质定理和切割线性质定理即可证明。
变式9 在原题中,如果AC是小O1的直径,过A作
小O1的切线交BD于G,交O2于M、N。结论则改
为“M A·A N =AC·BG”
略证:由RtTAC∽RtGBA 和
ACMNBDMN 即可证明
以上的变换,都是在“两圆内切”的前提下,只让大圆
的两条弦TD、TB的相对位置发生变化或改变题设或改变结论
的的前提下得到的一组学生练习题。如果让两圆变“内切”为
“外切”或变“相切”为“相交”,那么,又可以得到一组题:
变式10 如图,O1 与O2内切于T,直线AD、BC交
O1 、O2于A、D、B、C.连结AB、DC.
求证:AB∥CD
略证:过T作公切线,由弦切角定理即可得证。
变式11:如图8,在变式10中,题设不变,只
把“结论”改为 “求证:AT:TD=BT:CT
略证:由ABT∽DCT即可得证。
变式12,如图9,O1 与O2相交于E、F,过E、F
的直线交O1 、O2于A、C、B、D.连结AB、CD.
求证:AB∥CD
如果在两圆的相对位置发生变化的同时使两条
弦”TA、TB“的位置也发生变化,那么,又可以变换出几组不同的练习题。在此就不赘述了。
如果我们在教学中,认真研究教材,注意挖掘教材潜力,注意教材中例题、习题、练习题之间的相互联系,注意对这些习题进行开发,把课本用好用活,对于减轻学生负担、开发学生智力、培养学生能力,提高教学质量都会起到积极的作用。