线性规划解题例析

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线性规划问题考查形式多样，可与多个知识点的交汇处构造全新的背景试题，成为考试的热点之一.下面就线性规划问题中，利用目标函数具有的几何意义如截距，距离，斜率的等考查方式例析如下

1． 目标函数是截距型

1） 适当变换求解目标可以使其几何意义更加明确

例1 若实数 x,y满足x-4y≤-3

3x+5y≤25

x≥1.求Z=2x+y的最大值和最小值.

解：作出不等式组，所表示的平面区域

将Z=2x+y变形为y=-2x+z

问题转化为求y=-2x+z与图示的可行域有公共点时y轴截距z的最大值，最小值问题.结合图形可知L直线过A点（1,1）时Z有最小值3， L直线过B点（5,2）时Z有最大值12.

评析：形如目标函数Z=ax+by时,则y=-abx+zb，b＞0时y轴的截距越大，Z值越大,b＜0y轴的截距越小，Z值越小

2） 含有参数的线性规划问题的处理

设x,y满足约束条件2x-y+2≥0

8x-y-4≤0

x≥0,y≥0若目标函数z=abx+y的最大值为8，则a+b的最小值？

解：据约束条件作出如图所示的可行域

a＞0，b＞0，所以目标函数过直线2x-y+2=0与8x-y-4=0的交点(1,4)时取得最大值，从而有8＝ab＋4，即ab＝4，所以a＋b≥2ab=4，即a+b的最小值为4.

评析：目标函数中z的几何意义是直线z=abx+y在y轴上的截距，通过观察直线的变化找到其取最大值的点，根据最大值是8求出ab的值，进而根据均值不等式求出a+b的最小值.

2. 目标函数是距离型

例２ 若实数 x,y满x-4y≤-3

3x+5y≤25

x≥1.求Z=（x+1）2+(x+2)2的最大值,最小值.

解:Z=(x+1)2+(x+2)2理解为可行域内的点（x,y）与点M（-1，-2）距离的平方.结合例1图像Z的最小值是MA2=13，Z的最大值是MC2=52

评析：形如目标函数Z=(x-a)2+(x-b)2时，Z值即为可行域内的动点（x,y）与点M（a，b）距离的平方,

3． 目标函数是斜率型

例３ 已知变量x，y满足不等式组2x+y-4≥0

y-2≤0

x-y-2≤0

求z＝y-1x-1的最大值

解:据约束条件作出如图所示的可行域

y-1x-1的最大值可看作在可行域内的点与点P(－1,1)所得直线的斜率最大问题，由图可知直线PA的斜率最大，z的最大值就是zmax＝kPA＝2-11-(-1)＝12.

评析：形如目标函数Z=x-ay-b转化为可行域内的动点（x,y）与（a,b）连线的斜率

线性规划问题常考常新.因此我们应注重通性通法，注重解题的模式化.如给定平面区域求解一些非线性目标的最值或范围时，要根据解析几何知识确定求解目标的几何意义，结合解析几何知识解决问题，适当变换求解目标可以使其几何意义更加明确，从而更直观认识问题.