例说数形结合解决求函数最值问题

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数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。

例1：求函数的值域。

分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。

解：令则

原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。

评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。

例2：已知，求的最小值。

【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。

解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即

例3.求函数的最值。

分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。

令则

则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又

例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。

分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。

解：由题意得：的解为x=2

故

其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。

例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元

（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。

解；（1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

所求函数及其定义域为

（2）依题意知，均为正数

当且仅当，即时，①式中等号成立 若则当时，有；

若，由图像可知，则当时，有；

综上可知，为使全程运输成本最小，当时，行驶速度应为，当时行驶速度应为

评注：本题考查建立函数的模型，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。

在上述几例中，我们发现数形结合可以把一个复杂的问题简单化，解法新鲜，易于接受，充分体现试题的本质特征。其实数学中的许多问题都可以采用数形结合的方法求解，希望同学们细心揣摩，多角度思考，充分挖掘数与形的内在联系，掌握数形结合这一快捷的解题方法。