近岸波浪的缓坡方程模拟及其应用
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摘要：该文首先对近岸波浪数学模型的研究、发展、应用进行了回顾和总结。基于改进的缓坡方程建立了一个完整的近岸波浪数学模型, 通过对方程的拓展, 综合考虑了海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系等问题。拓展后的数学模型用ADI 法进行数值求解, 计算效率高、稳定性好。采用两个经典地形试验数据对模型进行了的验证, 数值结果和实验值吻合较好。最后，本文计算了某港区在防波堤作用下的港内波高值，充分发挥了本模型的工程实用性。
关键词：数学模型；缓坡方程；实用性
中图分类号：TQ018文献标识码： A 文章编号：
近岸水域对于当今人类活动具有特别重要的意义。外海波浪由外海传入近岸浅水地区时，受水深、地形、底摩擦、障碍物、水流等因素的影响，会发生变形、折射、绕射、反射和破碎等各种波浪变形现象。波浪研究方法主要包括理论分析、模型实验、现场观测资料研究以及数值模拟的方法等。许多理论如Stokes波理论、浅水波浪理论、波浪折射、辐射和绕射理论以及高阶Boussinesq方程理论得到的空前发展。随着计算技术的迅速发展，利用数学模拟探讨波浪传播变形的规律已成为主要研究手段。
缓坡方程基于缓坡条件的假设，是势波理论三维Laplace方程的一种简化近似形式，它将三维问题转化为二维问题，能够模拟出波浪的折射、绕射和反射联合作用等现象。Eckart(1952)第一个提出了在浅水中传播的缓坡方程。Berkhoff(1972)[1]在缓坡假设下，根据势波理论用小参数展开的方法推导出适合不同水深的反映波浪折射绕射联合作用的方程，即著名的缓坡方程。许多学者针对缓坡方程的缺陷，提出各种不同的类型的改进和推广。其中Dingemans(1997) [2]对海底作用项进行修正。
本文在以往参与实际工程项目以及前人做的各项工作及得出的各项成果的基础上，将进行以下几个方面的研究工作：
1.以Dingemans(1997)推导的方程为基础建立缓坡方程，建立综合考虑海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系的综合缓坡方程求解模型。
2.使用ADI 法得到无条件稳定的差分方法，在处理边界条件时，引入虚拟边界层。
3.对比不同试验地形上的物理模型试验结果和数值计算结果，验证模型应用性。
4.将模型应用于实际工程中，为设计提供参数。
1.理论模式
1.1控制方程
依照线性波理论，在推导缓坡方程过程中一个常用的假设就是波速势在垂直方向上的为，沿着坐标（x, y）的变化通过h很弱的表现出来，根据该假设，可得到如下方程：
（1）
Dingemans(1997)对海底作用项进行修正，为简单起见，这里直接给出Dingemans改进后的方程简洁表达式。方程的具体表达式和推导可以参考相关文献【2】。
（2）
式中，为势函数，为相速，为群速，k为波数，线性色散方程为，h为水深。
1.2缓坡方程的扩展
以上给出的方程在方程的实践应用中往往还需要考虑一些影响因素, 如海底陡坡影响、底摩擦、波浪破碎、非线性色散关系等。
1.2.1抛物化缓坡方程
在速度势中引入慢变时间变量，对单色波有：
（3）
式中：为波陡，或，对于陡变地形有。
代入方程（2）中，可得新的方程为：
（4）
1.2.2考虑能量扩散
在波浪传播过程中由于风能、底摩擦以及波浪破碎的影响，通常在缓坡方程中添加能量耗散项，即在时间关联型方程中加入项（Pan，2000[3]）。
根据Kirby(1984)势函数结构，分解时间关联型缓坡方程，从分解方程实部可以得到：
（5）
（6）
（7）
式中：波能，，为波幅，、为波浪破碎项和底摩擦项。
(1)底摩擦
（8）
式中：为波数，为水深函数， 为波能，为角频率，为底摩擦系数，它的取值通常为0.01-0.02之间.
(2)波浪破碎影响
（9）
（10）
式中：取1.0，为调整波高。
对于波浪破碎指标，本文根据工程实际需要，根据规范选取合适的计算方式。
1.2.3色散关系
在计算波浪相关数值中，以水深和波浪周期来确定波长是需要考虑的问题之一。波长一般通过色散关系来求解，线性波色散关系一般表示如下：
（11）
式中：为角频率，为波数，为水深函数。
在实际计算过程中，式（12）的精度较差，又因为需要迭代求解，本文为了简便原因，决定采用Hunt公式进行计算。
1.3拓展后的方程
通过对方程的扩展，得到如下形式的方程：
（12）
2. 方程离散和求解
方程的数值离散采用ADI方法，该格式能无条件稳定。将时间步长分两步，分别对x，y方向进行迭代求解。ADI方法虽然无条件稳定，但收敛的速度太慢，为了加快收敛速度，引入松弛因子，每次迭代完毕执行如下：
（13）
式中。
为了更好的处理边界条件，需要用到Kirby的三维近似方法，但它有很大的自身限制性。这样，就在各边界处虚设一边界层，运用二维的方法对边界进行处理。
3. 模型验证
为了验证本文模型的可用性, 采用了Berkhoff经典试验地形进行了数值计算, 并将数值计算结果和实验数据进行对比。
Berkhoff地形是斜坡和椭圆型暗礁相结合的地形，Berkhoff等（1982）对该地形进行了波浪传播实验，并取得了8个断面的实测资料，该试验作为复杂地形上的经典试验之一，常被用于波浪传播数学模型的验证。该物理模型水深地形图见图3所示，计算范围20 x 25，斜坡梯度为1:50，斜坡梯度方向与波浪入射边界方向夹角为20º，入射波周期=1.0，入射波高=0.0464。本文数值试验参数为：计算区域为20 x 25，入射波周期=1.0，入射波高=0.0464，时间步长取0.05，空间网格步长取0.1，上边界为入射边界，下边界为消波边界，左右边界为全反射边界，消波系数为0.3。
图3 Berkhoff物理模型水深地形图
图4断面1、3、5、7波高比较（注：“”为试验值，“—”为缓坡方程计算值）
由以上的相对波高等值线图4可以看出，数值模拟结果和物理试验吻合良好。在平底部分，对波高的影响很小，随着斜坡的变化，以及椭圆地形的存在，发生了波浪的折射和绕射。
4. 模型应用
广东某港，为工程需要而考虑建防波堤，以保护内港区，由于我们只关心港池内的波况, 为节约计算时间, 本文只取如图5中3600m1800m 的矩形区域作为计算域。因东南向波浪为主波向, 现仅计算该波向50年一遇重现期下的极端高、设计高水位。经过推算，口门等深线-6处的波高H=2.8m，周期T=7.8s，现取时间步长=0.5s，计算网格步长v x = v y = 5m。计算所得各波面如图6、图7所示。由图可见,入射波浪由东南向向前传播, 遇防波堤后部分反射,在防波堤趾处,入射波浪绕射进入港池,受防波堤掩护作用, 港池内波高较小。
图5 港区数值计算区域地形以及防波堤位置图
图6SE向50年一遇极端高水位等比波高等值线图 图7SE向50年一遇设计高水位等比波高等值线图
5. 结语
基于改进的Dingemans(1997)缓坡方程及对方程的拓展, 建立了一个完整的适用于复杂地形的近岸波浪数值模型, 该模型具备模拟波浪传播过程中诸多因素(如波浪破碎、浅水变形、绕射、反射、折射等)联合作用的能力,并引入非线性色散关系式，使方程能描述近岸非线性波浪特征，更好地描述有限水深处波浪特征。采用两个经典地形对本文模型的精度进行了验证, 数值模拟结果和实验数据符合良好, 表明本文模型具备良好的精度。某港内波浪场数值模拟实例表明, 该模型计算结果合理, 较好地反映了边界反射、波浪绕射对港内波况的影响。