利用多项式拟合方法对周跳进行探测与修复

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中图分类号：TU74 文献标识码：A 文章编号：

一 前言

全球卫星定位系统（GPS）是一个实时的，全天候，全方位的定位系统。卫星在空间的运行轨迹是一条平滑的曲线，因而卫星至接收机的距离观测值（即载波相位观测值）的变化也是平缓而有规律的。周跳将破坏这种规律性，使观测值产生一种系统性的粗差。周跳的探测及修复从本质上讲就是如何从载波相位观测值的时间序列中寻找可能存在的这种系统性的粗差并加以改正。

二 周跳的探测与修复

多项式拟合法可以有效的对周跳进行探测与修复，算法适合于计算机运算，被广泛采用。多项式拟合法所采用的载波相位观测值，可以是单差观测值和双差观测值也可以是非差相位观测值。

下面以双差观测值为例介绍用多项式拟合的方法探测与修复周跳。

将m个无周跳的双差观测值代入下式：

(1)

式中, n为多项式拟合阶数,是时间基准, 是时间变化量, 是时刻对应的拟合载波相位双差观测量。

其中i=1，2，…，m （m>n+1）

第一步：用最小二乘法求得式中多项式系数，，…，，并根据拟合后的残差计算中误差

(2)

第二步：用求得的多项式系数来外推下一个历元的双差载波相位值，并与通过实际观测计算出的双差相位观测值进行比较，当两者之差小于3时，则认为该双差观测值无周跳误差，去掉最早的一个观测值，加入实际观测计算出的双差相位观测值，然后回到1步继续进行多项式拟合外推下一历元。

当外推值与通过实际观测而计算出的值之差>=3时，认为通过实际观测而计算出的双差载波相位值含有周跳误差。此时应采用外推值的整周数代替有周跳误差的计算值的整周数，但的不足一周小数部分保持不动。然后去掉最早的观测值，加入修正后的回到第一步继续求多项式系数并外推下一个历元的双差值。

将上述过程持续到最后一个历元。

需要说明的是：

(1)由于卫地距对时间的四阶导数/或五阶导数/一般已趋近于零，所以n的阶数一般去3或4阶即可。

(2) 由于与相差悬殊，运用多项式进行拟合，要对时间[~]进行标准化，令为：

(3)

这样就把映射为，则（1）式就变为

(4)

由于存在误差，上式不可能完全满足，令

(5)

将误差方程表示成矩阵的形式：

(6)

无周跳的双差观测值的确定：

为了进行多项式拟合，初始的m个载波相位双差观测值必须精确无周跳。而周跳对三差观测值的影响仅限在单个历元上，所以可以通过检验三差值来判断双差值的正确与否。

将载波相位双差观测值用1式表示，则：

时刻：

时刻:

两式相减，得

(7)

从首历元开始，将(7)式列成矩阵形式：

(8)

其误差方程的矩阵形式为

(9)

用最小二乘法求出，利用推出下一历元的三差值，如果推出值与实际值之差的绝对值小于0.2，则可认为此三差没有周跳，并且对应的载波相位双差观测值即为干净无周跳，可以用来进行拟合推出后边双差值。如果大于0.2,则说明此组三差值含有周跳或者被推值含有周跳，则可以往后从新选一组三差值，按(9)式进行拟合，当此组三差值无误差时再往前推，拟合出前边有误差的三差值，求出误差并对双差观测值进行改正。

三 算例分析

表1两测站含有周跳的双差值与三差值

将时间进行标准化，然后通过第二历元到第七历元的6个三差值用最小二乘法求出多项式系数，用求出的系数推第8历元的三差值为1.185，与实际值相差0.25，则认为该组三差观测值有周跳，不可用，另选4到9历元的六个三差值求多项式系数，拟合出第10历元的值为1.439，与计算出的值相差很小，则可认为该组三差值为干净的，然后反推2历元的值为1.479，与求差得出的值相差1.032可判断3历元的双差观测值有一周的周跳，则三差值应为1.511，往前推出2历元的三差值为1.521，与求差得出的值相差0.041，无周跳，将3历元和其后边的双差观测值都减去1后，前10历元的双差值是干净的，通过前10历元的双差值去拟合校正后面历元的双差值，拟合出的12历元双差观测值为1511.274，由此可看出100周和1周的周跳都可准确探出。此方法可得到干净无误差的双差观测值，为GPS相对定位提供可靠的数据。

四 小结

利用多项式拟合与最小二乘法相结合的方法可以很好的探测出载波相位双差观测值的小周跳，大周跳，尤其对于一周的小周跳可以很容易探测出来，无需分段处理，且拟合后不会发散，能够为相对定位数据处理提供精度很高的双差观测值。