“影子”例解浅说

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我们的生活离不开“影子”，当阳光或灯光不是垂直照射时，任何不透明的物体都会有影子.“影子”从来都是某种物体的附属品，或者是“虚无阴暗”的代表.但科学家和数学家们却发现了影子在测量等方面的价值：揭示了日食的秘密，光学中发现了成像原理等.

不仅如此，影子还有更普遍的意义.在数学中，学习相似图形和解直角三角形时，就经常会遇到有关“影子”的问题，由于产生“影子”的光源不同，也就有了解决问题的不同方法.

数学上影子可以分为平行投影和中心投影两种.平行投影是平行光线下的投影；中心投影是从一点发出的光线下的投影.太阳光线可以看成平行光线，探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的光线.有关这两种影子的例题在初中数学中大致有以下几种.

一、平行光线形成的影子

例1.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）

A.4.8米 B.6.4米 C.9.6米 D.10米

分析：依据“同一时刻的物高与影长成比例”，即可解决.故选C.

例2.张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得一棵小树高为1.5米，其影长为1.2米.当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树的高约多少米？

分析：此问题的影子不完全落在地面上，遇到障碍，一部分落在地面上，另一部分落在墙上.此时，需要根据题意正确画出图形（如图1），解除障碍的方法可以用抬高地面（如图2）或光线穿透墙面（如图3）的方法.

解：设DE=x，若用抬高地面的方法（如图2），则=，解得x=9.4；

若用光线穿透墙面的方法（如图3），则==，解得x=9.4.

答：这棵大树的高约9.4米.

例3.如图4，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为?摇?摇?摇?摇?摇.

分析：虽然光线是平行光线，但铁塔的影子却不是落在平地上而是坡面上的，小明和小华的影子是同一时刻分别落在坡面和平地上的影子，这三者之间如何找到解决问题的方法呢？此时，需要根据题意正确画出图形（如图5），可以发现APE∽FEG，但APE中缺乏条件，由DE=18m可以想到添加辅助线（如图6）构造相似三角形ODE∽FEG，由=得出线段DO的长为14.4m，再过点O作OQAB于点Q，可知BQ和QO的长，又构造了AQO∽HMK，由=得出AQ的长为9.6m，最后得出铁塔的高AB为24m.

上述例解说明，因为物体在太阳光线（即平行光线）照射下的影子具有“同一时刻的物高与影长成比例”典型特征，所以根据题意正确画出图形结合这一特征仔细分析就能找到解决问题的方法.当然根据这一典型特征更简明地可设塔高（x+y）米，其中y米高在斜坡上影长18米，x米高在平地上影长6米.满足=，=，由方程解出：x=9.6，y=14.4，所以x+y=9.6+14.4=24（m）.

二、从一点发出的光线形成的影子

例4.如图7，晚上小亮在路灯下散步，他由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）

A.逐渐变短 B.逐渐变长

C.先变短后变长 D.先变长后变短

分析：这是一个很实际的问题，仔细观察生活的同学一般都会有这样的常识:越走近路灯的影子越短，越远离路灯的影子越长，因此应选C.

例5.晚上，阿丽和小亮在广场的一盏灯下玩，如图8，AB的长表示王丽的身高，BM表示她的影子，CD的长表示赵亮的身高，DN表示他的影子，请画出这盏灯的位置.

分析：由中心投影的定义可知：这盏灯应在两人之间的上方，连接MA，NC并分别延长，交于点P，则点P即为灯的位置.

解：如图9所示：

例6.圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（如图10）.已知桌面的直径1.2米，桌面距离地面1米.若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为?摇?摇?摇?摇.

分析：这个生活实际问题，首先抽象成几何图形（如图11），拟求地面上阴影部分的面积，即需求出G的直径DE的长，由题意可知ABC∽ADE，由“相似三角形对应高之比等于相似比”可得=，从而计算出DE=1.8米，地面上阴影部分的面积为0.81π平方米.

例7.如图12，晚上，王华由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于?摇?摇?摇?摇米.

分析：我们通过观察可以发现，从一点发出的光线在不同的位置形成不同的影子，观察图形13可以发现两对相似三角形：GCD∽ABD，HEF∽ABF，得=；=，解之，可得AB的长为6米.

注：在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”.

三、从二点发出的光线形成的影子

例8.晚上，身高为1.80米的小亮走在大街上.当他站在大街两边的两盏一样高的路灯之间，并且自己被两边的路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3米，左边的影子长为1.5米.又知两盏路灯之间的距离为12米，求路灯的高.

分析：

方法一：建立如图14所示的几何图形，可以发现例7中运用的方法在这个问题中仍然适用，利用两次相似的比例线段，可以求出路灯的高.

方法二：如图15，由于路灯是一样高的，且都与地面垂直，因此连接GH则可以构造出一个矩形，同时又构造一对相似三角形CDE∽HGE，再延长FE交GH于点Q，由题意知，EQGH，可由“相似三角形的对应高之比等于相似比”得=，即=，由此可求出路灯的高.

四、平行投影和中心投影的“结合”

例9.在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（ ）

A.小明的影子比小强的影子长

B.小明的影子比小强的影子短

C.小明和小强的影子一样长

D.无法判断谁的影子长

分析：根据“在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长”可知小明的身高比小强高，但在同一路灯下，站立的位置不同，形成的影长也不同，所以应选D.

人看物体时的情形与中心投影在本质上是一致的，将人的眼睛与点光源类比，视线与点光源发出的光线相似、影子与盲区相似.

“影子”在日常生活中的应用很多，如皮影、手影等给我们带来无穷乐趣，但有时也会给我们的生活带来错觉和不便.在医学上，为了避免影子影响光线的强度而有所失误，科学家设计了一种没有影子的灯――无影灯.

同一时刻物高与影长成比例，这一规律古人早有所知. 相似原理和比例线段的性质，也有着广泛的应用.早在2000多年前，古希腊著名数学家、演绎推理学之父泰勒斯就运用相似原理测量并准确地计算出了金字塔的高度.

随这科学技术的不断发展，关于影子的问题也一定会有新的发现，我借助对“影子”的问题的研究，将数学知识注入了浓厚的生活气息，从而激发了学生的学习兴趣和求知欲望，为学生的学习创造了生动有趣的情境.知识的探求是无止境的，不断会有新的奇迹等待着人们去创造.

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