数学分析教学探讨

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【摘 要】数学分析是数学专业最为重要的核心基础课程之一，本文就如何提高数学分析的教学质量提出几点看法。

【关键词】数学分析 教学探讨 多媒体

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）04-0068-02

数学分析一直是各个院校数学专业最为重要的核心基础课程之一。通过对数学分析的学习，学生可以得到极大的思维锻炼，学到一套系统的关于连续量的运算体系和相关的数学理论，习得一系列精妙的运算方法和严密的推理技巧，为后续的数学类课程学习打下坚实的理论基础。

数学分析的主要内容是微积分，课程内容较抽象、理论性很强。虽然现在的高中教材都会介绍一部分微积分知识，如导数的概念及其简单应用，但是在数学分析的教学中，笔者发现学生对这些概念的理解是非常粗浅的。而数学分析强调的是给学生提供尽可能多的思维锻炼的机会，而不是应试式的死记硬背“知识要点”。这就需要教师在教学过程中，以学生为主体，不断改进教学方法，做好教学设计，在教学中突出强调推理论证的过程，使学生思维方式能尽快实现从具体到抽象、离散到连续、有限到无限的顺利过渡，更好地完成教学。笔者通过不断的理论学习和教学实践，对如何提高数学分析的教学质量总结了以下几点：

一 明确教学内容，突出知识要点

教师应明确课程的教学内容，应树立“用教材教，而不是教教材”的教学理念。这就需要教师尽可能多地阅读相关教材。数学分析有很多教材，其中较常用的有华东师大版和复旦大学版。但是，每个版本的教材都有优缺点。通过阅读不同的教材，并结合学生的实际情况，教师可以更好地明确教学内容，进行合理的教学安排。

明确教学内容后，教师在教学中应准确把握教学重点及关键知识点。如在极限概念的教学中，数列极限的 定义就是一个教学重点，对这个定义的理解程度，直接关系到学生对后续的函数极限定义的理解，所以也是一个关键知识点。教师应该在教学过程中首先给出数列极限的定性描述，并强调这种定性描述只是对数列变化性态的一种形象描述，在数学上无法进行严谨地论证，必须要将定性描述转化为定量描述，这又可以通过对实例的讨论完成。做到这一点，才可能使学生真正明白极限概念的涵义。又如，定积分概念是数学分析中的重要概念，在教学时，教师应详细地从概念的物理背景、几何意义出发，进行“分割、近似代替、求和、取极限”，在此过程中强调“以直代曲、以常代变”的思维方法，剖析概念的内涵，一旦这一概念被学生理解和接受，也就同时解决了定积分的简单应用题，也为理解和运用微元法打下了坚实的基础，对后续多重积分的学习作好准备。

二 打消害怕心理，提高学习兴趣

在非数学专业的大学生中一直有这样的说法：“大学有一棵树，叫高数，上面挂了很多人”，可见他们对高等数学的心理害怕程度。对数学专业的学生而言，数学分析就是那棵树，他们往往会因为担心学不会、学不好而对数学分析的学习失去兴趣甚至产生抵触心理，严重影响教学的正常进行。因此在教学中，越快打消学生的恐惧心理，提高其学习兴趣，效果越好。为此，笔者在课程开始之初，提出学习数学分析的四个层次：（1）了解基本概念、基本定义及其相关的简单计算；（2）掌握概念的涵义，了解基本定理的涵义及其简单应用；（3）能够重写课本的重要定理，知道证明的思路；（4）理解掌握重要定理的证明，应用其思想证明部分习题。达到第一个层次的要求，就可以不挂科，达到第四个层次的要求，就达到了非常优秀的水平。这样就使学生心里有了底，就不会带着沉重的心理压力学习。同时，笔者还通过大量的例子，说明数学分析的重要性和实用性。如通过介绍三次数学危机，特别是“芝诺悖论”，阿基里斯追龟，通项为（-1）n的无穷级数的求和等例子，讲述了逻辑思辨思维的重要性，强调数学分析对思维锻炼的影响；通过介绍开普勒定理等例子，说明了数学分析在实际应用中的重要性。学生的学习兴趣得到了很大的提高。

三 做好板书设计，充分利用多媒体

数学分析这门课程的特点要求教学要必须以板书为主。只有通过板书的形式，才能有效地调动学生，让学生有充裕的时间接受教师进行的逻辑推理过程，得到更多的思维锻炼。一个好的板书设计，可以帮助教师更好地展示知识要点，传递思维信息，帮助学生更好更快地接受教学内容。但是，在当前各个高校都在压缩单学科课时的大背景下，我们需要改进教学方法。有些教学内容，如多重积分里出现的几何图形，如果以板书的形式展示，必然需要花费大量的时间，且效果也不好。但利用多媒体，我们可以将课本部分内容通过声、像、动画和动态图像的形式呈现在学生面前，不仅丰富了教学手段，节约了时间，也使枯燥的数学知识变得形象生动，抽象的理论知识变得容易理解。为此，在教学设计时，就应该将可以投影的内容放到多媒体课件中，并对需要展开阐述的内容，做好相应的板书设计。这样，将板书和多媒体有机结合起来，可以极大地提高教学质量。

四 紧密结合实际，加深知识理解

数学分析的许多内容都有很强的物理背景和几何意义。这可能会影响学生对知识的理解，但同时也给教师提供了结合实际讲授的机会。以导数为例，用牛顿的观点来看，导数就是质点做变速直线运动的瞬时速度的抽象。简而言之，导数就是速度。注意到这一点，在讲述利用导数判断函数的单调性时，就可以告诉学生，将函数看成某个质点的位移函数，那么导数大于零意味着速度是正的，位移就会增加，此时函数是单调递增的，反之亦然。而在讲授定积分时，紧密结合其几何意义，强调定积分就是面积，学生就会更容易掌握定积分的概念和相关性质。又如，第二型曲面积分涉及的“曲面的侧”定义。教师可以通过让学生亲自展示莫比乌斯带，让学生切实地见证“并不是凡事都有两面的”，接受只有一侧的曲面——单侧曲面的事实。这不但可以解答学生的疑惑，还可以让学生感受到数学的神奇，加深对知识的理解。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]Walter Rudin.数学分析原理（赵慈庚、蒋铎译）[M].北京：机械工业出版社，2004

[3]邓东皋、尹小玲.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2006

[4]欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2007