数学与诗词意境

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张奠宙 1933年出生于浙江奉化。1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。1999年当选为国际欧亚科学院院士。现任教育部师范司高师教学改革指导委员会委员，《高中数学课程国家标准》研制组组长。

数学与诗词历来有许多潜在的谈资。例如：

一去二三里，烟村四五家；

楼台六七座，八九十枝花。

把十个数字嵌进诗里，读来朗朗上口。郑板桥也有咏雪诗：

一片二片三四片，

五片六片七八片；

千片万片无数片，

飞入梅花总不见。

诗句抒发了诗人对漫天雪舞的感受。不过，以上两诗中尽管嵌入了数字，却实在和数学没有什么关系。

数学与诗词的内在联系，在于意境。李白《送孟浩然之广陵》诗云：

故人西辞黄鹤楼，

烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽，

唯见长江天际流。

数学名家徐利治先生在讲授极限的时候，总要引用“孤帆远影碧空尽”这一句，让大家体会一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神。

近日与友人谈几何，不禁联想到初唐诗人陈子昂《登幽州台歌》中的名句：

前不见古人，后不见来者；

念天地之悠悠，独怆然而涕下。

一般的语文解释说，前两句俯仰古今，写出时间绵长；第三句登楼眺望，写出空间辽阔。在广阔无垠的背景中，第四句描绘了诗人孤单寂寞和悲哀苦闷的情绪，两相映照，分外动人。然而，从数学上来看，这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线（一维空间）：陈老先生以自己为原点，前不见古人指时间可以延伸到负无穷大；后不见来者则意味着未来的时间是正无穷大。后两句描写三维的现实空间：天是平面，地是平面，悠悠地扩张成三维的立体几何空间。全诗将时间和空间放在一起思考，感到自然之伟大，产生了敬畏之心，以至怆然涕下。这样的意境，是数学家和文学家可以彼此相通的。进一步说，爱因斯坦的四维时空学说，也能和此诗的意境相衔接。

贵州的杨老师告诉我他的一则经验。他在微积分教学中讲到无界变量时，用了宋朝叶绍翁《游园不值》的诗句：

满园春色关不住，一枝红杏出墙来。

学生每每会意而笑。实际上，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过M。于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一枝红杏越过园子的范围。诗的比喻如此恰当，其意境把枯燥的数学语言形象化了。

数学研究和学习需要解题，而解题过程需要反复思索，最终会在某一时刻出现顿悟。例如，做一道几何题，百思不得其解，突然添了一条辅助线，问题豁然开朗，欣喜万分。这样的意境让我想起的是辛弃疾的词所描述的意境：

众里寻他千百度，

蓦然回首，

那人却在，灯火阑珊处。