巧设未知数五法

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设未知数是列方程解应用题时的一个重要环节. 根据应用题的实际特征,灵活地设出未知数,可使解题过程得到简化. 现将设未知数的几种方法总结如下,供同学们学习参考.

一、直接设未知数

当题设中的关系能明确表示出所求的未知量时,可采用直接设未知数法,即问什么设什么.

例1“一方有难,八方支援”.汶川特大地震牵动着全国各族人民的心.某校七年级两个班的学生踊跃捐款捐物.已知(1)班比(2)班多4人,两个班的学生平均每人捐款100元,且两个班总共捐款8000元.试求该校七年级(1)、(2)班各有多少人?

分析:该题等量关系明确,且各个量都与所求的值之间有直接的数量关系. 此时,可考虑直接设所求数为未知数.

解: 设(2)班有x人,则(1)班有x+4人,根据题意,得

100[x+(x+4)]=8000.

解得x=38. 所以x+4=42.

故该校七年级(1)班有42人,(2)班有38人.

二、间接设未知数

当直接设元列方程有困难时,常常可采用间接设未知数法,其最显著的特点便是所设的不是所求的.

例2某市中学足球联赛共有8轮(每队均需参赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.在这次足球赛中,翔龙队踢平的场数是踢负场数的2倍,共得17分,试问该队胜了几场?

分析:抓住踢平的场数是踢负场数的2倍,可设间接未知数――踢负的场数为x,来列方程解题.

解: 设翔龙足球队踢负的场数为x,则踢平的场数为2x,胜的场数为8-3x,由题意可列出方程

3(8-3x)+2x=17.

解得x=1,又8-3=5.

故翔龙队胜了5场.

例3一个三角形的三条边长的比是2∶4∶5,最长的边比最短的边长6厘米,求这个三角形的周长.

分析: 可先设每份为x厘米,则三边的长分别为2x厘米、4x厘米、5x厘米,周长为11x厘米.

解: 设每份为x厘米,根据题意,得5x-2x=6,解得x=2,所以11x=22.

故这个三角形的周长为22厘米.

三、局部设未知数

例4用长60米的篱笆围成一个长方形的花圃,若长比宽的2倍少3米,则这个长方形花圃的面积是多少平方米?

分析:本题若直接设花圃的面积为未知数,显然不易求解. 这类问题,通常可设某部分为未知数,这样列起方程来就容易多了.

解: 设长方形花圃的宽为x米,面积为S平方米,则长为2x-3米.

根据题意,得2[(2x-3)+x]=60.

解得,x=11.

所以2x-3=2×11-3=19,S=x(2x-3)=11×19=209.

故这个长方形花圃的面积是209平方米.

四、整体设未知数

有些应用题未知量太多而已知关系又太少,无法直接设元求解. 可考虑总整体设元,这样就减少了所设元的个数,便于求解.

例5有四个数,其中每三个数的和分别为22,20,17,25,求这四个数.

分析: 如果直接设这四个数为未知数,显然不妥.但若将这四个数的和看作一个整体,采用间接设未知数法,设这个整体为未知数,则问题解决起来就简单多了.

解:设这四个数的和为x,则这四个数分别为x-22,x-20,x-17,x-25.根据题意,得

(x-22)+(x-20)+(x-17)+(x-25)=x.

解得,x=28.

所以x-22=6,x-20=8,x-17=11,x-25=3.

故这四个数分别为6,8,11,3.

五、设辅助未知数

有些较复杂的应用题,初看好像缺少条件,这时不妨试着引入辅助元,在已知条件与所求答案之间架起一座“桥梁”,以理清各个量之间的关系,便于列出方程.

例6某种商品的价格2009年比2008年上涨了25%,欲控制使该商品2010年的零售价比2008年只上涨10%,则2010年应比2009年降价的百分数是多少?

分析:欲求2010年比2009年降价多少,若设2008年这种商品的零售价为a元,2010年应比2009年降价的百分数为x,则该商品2009年的零售价为a(1+25%),2010年的零售价为a(1+25%)(1-x),于是可以列出方程求解.

解: 设2008年这种商品的零售价为a元,2010年应比2009年降价的百分数为x.根据题意,得a(1+25%)(1-x)=a(1+10%).

解得x=0.12=12%.

故2010年应比2009年降价的百分数是12%.

小结: 上面的第三、四两种设未知数的方法实质也是间接设未知数法.从上面六个例子可以看出:在列方程解应用题时,设立合适的未知数确实可以使问题化难为易、化繁为简,大大提高我们的解题效率.同学们在解实际问题时,应多注意对类似技巧的总结与运用,只要坚持下去,必将给自己的学习带来积极的影响.