例说圆有关的说理问题

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近年来的中考题中，经常遇到圆有关的判断说理问题．解答它们，要注意从题设条件出发，联想有关的性质和定理．

例1（广东省）如图1，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并说明理由．

分析：要找出线段OE与OF的数量关系，仔细观察图形，容易看出它们大致相等．如何来说明OE=OF呢？应构造与OE和OF有关的两个三角形，然后说明它们全等．

解：连接OA和OB．

OA和OB是O的半径，

OA=OB．

∠OAE=∠OBF．

AE=BF，

∠OAE≌∠OBF（SAS）．

OE=OF．

线段OE与OF的数量关系为OE=OF．

例2（湖北宜昌市）如图2，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O与点E．

（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？

（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由．

分析：依题意，我们可以猜测AB与AC的大小为相等的关系，ABC是锐角三角形．

解：（1）连接AD．

AB是O的直径，

∠ADB=90°，ADBC．

DC＝BD，

AD是BC的垂直平分线．

点A在AD上，

AB＝AC．

AB与AC的大小关系为相等．

（2）按角的大小分类，ABC是属于锐角三角形．为说明这一结论，再连接BE．

AB是O的直径，

∠BEA=90°．

∠BAC=∠BAE=90°-∠ABE＜90°．

∠BAC是锐角．

∠ADB＝90°，∠ADC=90°．

又，∠ADC＞∠ABC，∠ADB＞∠ACB，

∠ABC＜90°，∠ACB＜90°．

ABC是锐角三角形．

例3（广西柳州市）如图3，在ABC中，∠A=45°，以BC为直径的O与AB、AC交于E、F．

（1）当AB=AC时，求证：EOFO；

（2）如果AB≠AC，那么EOFO是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

分析：（1）在图3中，当AB＝AC时，要证明EOFO，只要证明∠EOF=90°．注意到BC是O的直径，那么只要证明∠1+∠2=90°．（2）在图4中，当AB≠AC，要问EOFO是否仍然成立？其关键在于判断∠1+∠2＝90°是否仍然成立？

解：（1）在图3中，当AB＝AC时，

∠A＝45°，

∠B=∠C=1/2（180°-∠A）=67．5°．

OB＝OE，

∠BEO=∠B＝67．5°．

∠1=180°-（∠B+∠BEO）=45°．

同理，∠2=45°．

∠1+∠2=90°．

∠EOF=180°-（∠1+∠2）＝90°．

EOFO．

（2）在图4中，当AB≠AC，EOFO仍然成立．证明如下：

OB＝OE，

∠B＝∠BEO，∠1＝180°-2∠B．

同理，∠2=180°-2∠C．

∠1十∠2＝360°-2（∠B+∠C）．

∠A＝45°，

∠B十∠C＝180°-∠A=135°．

∠1+∠2＝360°-2×135°=90°．

∠EOF=180°-（∠1+∠2）＝90°．

EOFO仍然成立．