动力学中的类比模型(全文)

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通过类比的思维方法，把表面不同而物理过程相似的问题归并到同一类比模型中，可以起到

举一反三、触类旁通的作用，本文就是要把动力学中常见的类比模型介绍给广大的师生.

一、互成角度的二力作用下的水平加速模型

例1 如图1-1所示，质量为m的球固定在弯折硬杆ABC上，硬杆A端固定在平板车上，车在水平方向做

变速运动，杆对球的弹力为F，下列说法正确的是（）

(A)F一定沿杆向上

(B)加速度增加时，F的竖直分力增加

(C)加速度增加时，F的水平分力增加

(D)加速度增加时，F与水平方向的夹角减小

解析：由牛顿第二定律知，G、F两力的合力总沿水平方向，当加速度水平向右时，F斜向右上方;

当加速度水平向左时，F斜向左上方，F不一定沿杆向上，选项(A)错误.

如图1-2所示，在竖直方向：FY=mg，由于重力不变，所以F的竖直分力FY

不变.在水平方向:FX=ma，加速度a增大时,F的水平分力FX增大，所

以F与水平方向夹角减小.选项(B)错误，应选(C)、(D).

本模型的特点：物体在重力和弹力作用下，做水平方向的变速运动，合外力沿水平方向；

加速度增大时，弹力的竖直分力保持不变，而水平分力变大，合力与水平方向的夹角减小.

类比题：如图2-1所示,光滑球恰好放在半径为R的圆弧槽中，左边的接触点为A，半径OA与水

平线成α角，两者一起向右做加速运动过程中圆弧槽对球的作用力为F，下列说法正确的是()

(A) 向右的加速度增加时，F的水平分力FX增加

(B) 向右的加速度增加时，F的竖直分力FY增加

(D) 加速度a>gcotα时，球从槽中滚出

解析：本题可以与例1形成完美的类比.如图2-2所示,在

竖直方向：FY=mg，由于重力不变，F的竖直分力FY不变.在水平方向由牛顿第二定律知FX=ma,加速度增大时，F

的水平分力FX增大，选项(A)、(C)正确.

当加速度由零开始增大时，槽对球支持力的作用点由槽的最低点逐渐向左移动，移动到A点

时，球恰好没有滚出,此时a=FXm

=mgcotαm

=gcotα.

所以，当a>gcotα时，球从槽中滚出，选项(D)正确，应选(A)、(C)、(D).

二、互成角度的三力作用下的水平加速模型

例2 如图3-1所示，质量为2 kg的物体用轻线系于倾角为30°的光滑斜面上，斜面体置于水平地

面上.求：(1)当斜面体以加速度a=2 m／s2向右加速时，绳的拉力为多少?(2)当斜面体以加速度

a=20 m／s2向右加速时，绳的拉力为多少?(g=10 m／s2)

解析：(1)当物体与斜面接触恰无作用时，物体只受两力，两力的合力水

平向右，如图3-2所示.

有F=mgcot30°=ma,

a=gcot30°=103

m/s2>2 m/s2.

所以，当加速度a=2 m/s2时，物体与斜面间存在作用力，如图3-1所示.

水平方向：Tcos30°-Nsin30°=ma①

竖直方向：Tsin30°+Ncos30°-mg=0②

由①②式得T=13.5 N

(2)当加速度a=20 m／s2时，物体与斜面分离，只受重力和拉力，如图3-2所示.

T=(mg)2+(ma)2=44.7 N.

本模型的特点：物体在互成角度的三个力作用下做水平方向的变速运动，合外力沿水平方向；

当加速度达到某一定值时，物理过程出现临界状态，物体的受力出现转折性变化，其中一个力消

失，变成了如1中所述的二力作用下的水平加速模型.

类比题：如图4-1所示，车内用两根轻线系住一个质量为m=1 kg的小球，两绳与水平方向的

夹角分别为30°、60°.求：(1)当车以加速度a=10 m／s2向右加速时，两线的拉力分别为多少?(2)当

车以加速度a=20 m／s2向右加速时，两线的拉力分别为多少?(g=10 m/s2)

解析：本题可以与例2形成完美的类比.本题中加速度也存在着

一个临界值，当加速度达到这个临界值后，OB线松弛，拉力T2消

失，0A线与水平方向的夹角将减小，球由受三个力变为受两个力.

(1)首先确定加速度的临界值，OB线伸直且恰无张力时，物体受

力如图4-2所示.F=mgcot30°=ma,a=gcot30°=103

m/s2>10 m/s2,所以当a=10 m/s2

时，两线均存在拉力.水平方向：

T1cos30°-T2cos60°=ma①

竖直方向：

T1sin30°+T2sin60°-mg=0②

由①②式得T1=13.7 N,T2=3.66 N

(2)加速度a=20 m／s2时，OB线松驰，T2=0,T1=

(mg)2+(ma)2=22.4 N

三、竖直方向的升降机模型

例3 质量为m的人站在升降机内，升降机的支持力为F，当升降机以加速度a在竖直方向做

匀变速直线运动时，下列说法正确的是()

(A) 若a向上，物体处于失重状态，F减少了ma

(B) 若a向上，物体处于超重状态，F增加了ma

(D) 若a向下，物体处于失重状态，F减少了ma

解析：人受两个力，如图5所示.当人与升降机静止时，F=mg；当a向上时，由牛顿第二定

律：F1-mg=ma，F1=mg+ma，F的增加为ΔF=F1-F=ma；当a向下时，有

mg-F2=ma,F2=mg-ma,

F的减少为ΔF=F-F2=ma,所以，应选(B)、(D).

本模型的特点：物体(或系统)有竖直向上的加速度a时，物体处于超重状态，对水平支持

物的压力增加，增加量为ma；物体(或系统)有竖直向下的加速度a时，物体处于失重状态，对

水平支持物的压力减少，减少量为ma.

类比题：如图6所示,质量为m的物块，从质量为M、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开

始下滑，物块下滑过程中，斜面静止.关于该过程下列说法正确的是()

(A) 两者组成的系统处于平衡状态，地面的支持力大小为F=(M+m)g.

(B) 两者组成的系统处于超重状态，地面支持力大小为F=(M+m)g+mgsinθ

(D) 两者组成的系统处于失重状态，地面的支持力大小为F=(M+m)g-mgsin2θ

解析：本题可以与例3形成完美的类比，不过本题的研究对象为物块和斜面组成的系统.系统竖直方向受向下的重力Mg和mg，及地面向上的支持力F，如图6所示.因斜面静止，物块加速下滑，所以选项(A)错误.系统中物块的加速度为a=gsinθ,a的竖直分量为

aY=gsin2θ①

方向向下，所以系统处于失重状态.对于系统，在竖直方向使用牛顿第二定律

（M+m)g-F=maY②

由①②得F=（M+m)g-mgsin2θ.所以，本题正确答案为(D).

四、力按质量关系分配的模型

例4 如图7所示，水平地面上有质量分别为M、m的两个物块，在水平力F作用下做加速运动，两个物块与地面间的动摩擦因数相同，用F′表示M和m间的作用力，下列说法正确的是()

(A) 若接触面光滑，则F′=F

(B) 若接触面光滑，则F′=FmM+m

-μmg

(D) 若接触面粗糙，则F′=FmM+m

解：若接触面光滑，对M和m:a=

FM+m;对m:F′=ma=FmM+m.

若接触面粗糙，对M和m:a=F-μ(M+m)gM+m;对m:F′-μmg=ma,把a代入，得F′=

μmg+ma=FmM+m.所以选项(B)、(D)正确.

本模型的特点：几个物体组成的系统在一个与运动方向同向的动力作用下运动，系统内两部

分之间的作用力，只与两部分的质量关系有关；与接触面光滑还是粗糙无关(各物体与接触面间

的动摩擦因数须相同)；与系统在水平地面上还是斜面上运动无关.

类比题：如图8所示，倾角为θ的斜面上，质量分别为M、m的两个物块在平行于斜面的力

F作用下沿斜面向上做加速运动，两个物块与斜面间的动摩擦因数相同，用F′表示M和m间的作用

力，下列说法正确的是()

(A) 若斜面光滑，则F′=F

(B) 若斜面光滑，则F′=FmM+m

(D) 若斜面粗糙，则F′=FmM+m

解：

若斜面是光滑的；对M和m:a=F-(M+m)gsinθM+m;对m:

F′-mgsinθ=ma,由以上两式得F′=FmM+m

若斜面是粗糙的，对M和m :

F-(M+m)gsinθ-μ(M+m)gcosθM+m；对m:

F′-mgsinθ-μmgcosθ=ma,由以上两式，得F′=FmM+m.所以选项(B)、(D)正确.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

动力学中的类比模型

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