谈数学基本思想的理解与落实

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《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“双基”被发展为“四基”，课标总目标中的第一条就明确地提出了获得“四基”的要求：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”“双基”被发展为“四基”，成为了此次课标修订的一个重要标志。“该怎样理解与落实好新增的两基”这也成为了一线教师广泛关注的问题。就此内容与大家交流，受篇幅所限，本文重点谈谈数学基本思想这方面。

其实，当人们面对一些新变化时，自然而然就会产生这样的问题。“为什么（从原来的获得双基发展为四基的原因）？”“是什么（数学基本思想的内涵）？”“怎么做（如何在课堂教学中落实数学基本思想）？”以下我就从这三方面来谈谈数学基本思想这一内容。

一、为什么——“双基”为何要发展为“四基”

（一）2+2？

变化的原因可以从三方面来说：

第一，从三维目标来看。以往的“双基”仅仅涉及三维目标中的一个目标——“知识与技能”。新增加的基本思想和基本活动经验则还涉及三维目标中的另外两个目标——“过程与方法”和“情感态度与价值观”。

第二，从以人为本的角度来看。因为某些教师片面地理解“双基”，往往在实施中“以本为本”，见物不见人；而教学必须以人为本，人的因素第一，新增加的“数学思想”和“活动经验”就直接与人相关，也符合“素质教育”的理念。

第三，从培养创新来看。因为仅有“双基”还难以培养创新性人才，“双基”只是一个基础，但创新性人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养，思维训练和积累经验等也十分重要。

（二）4=1！

我们还要把握住一个观点就是，“4=1”即四基是一个整体。数学“四基”不是简单的叠加与混合，而是相互联系、相互交融，相互促进的整体。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体；数学思想则是数学教学的精髓，是课堂教学的主线；数学思想的教学要以数学知识为载体，因势利导，画龙点睛，避免生硬牵强和长篇大论。数学活动是不可或缺的教学形式与过程。

二、是什么——数学基本思想的内涵

（一）数学思想

数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富。有学者通俗地把“数学思想”说成“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。就比如说研究“植树问题”，这类问题的公式，随着时间的久远和不经常用到，很可能就会淡忘。但如果在学习这一内容同时如果也获取了数学思想，一棵树对应一段距离这样对应的思想，了解了数形结合的思想，学会了化繁为简的简化思想，掌握了归纳推理的思想，相信这一问题定会迎刃而解。更重要的是这些思想会让学生终身受益，绝不仅仅限于这一问题，数学学习，应该会影响到方方面面。

（二）“基本”怎么理解？

这次在“思想”的前面加了“基本”二字，一方面强调其重要，另一方面也希望控制其数量——基本思想不要太多了。说“强调其重要”，是因为“数学思想”可以有许多，并且是具有层次的，而“数学的基本思想”则是其中带有基本重要性的一些思想，处于较高的层次；其他的数学思想都可以由这些“数学的基本思想”演变出来，派生出来，发展出来，处于相对较低的层次。数学的基本思想主要指数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。

由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想等。由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想，演绎的思想，转换化归的思想，联想类比的思想等。由“数学建模的思想”派生出来的：简化、量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想等。

（三）数学思想与数学方法

我们以往在表述中常常会提到“思想、方法”这两个词，即“数学的思想方法”。而这次我们看到课标在这里的措词为“数学的基本思想”，而不是“数学的基本思想方法”，那么这样表述的意图何在，数学思想与数学方法又是怎样的关系呢？这是因为后者可能更多地让人联想到“方法”，这样层次就降低了，且冲淡了“思想”。其实在用数学思想解决具体问题时，会逐渐形成程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的，处于较高层次的可以称为“数学的基本方法”。数学方法不同于数学思想。

“数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的；而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映了某种数学思想。数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生了解和体会数学思想，提高学生的数学素养。

三、怎么做——例谈数学基本思想的落实

人们常说，知易行难。了解了数学基本思想的内涵与产生的原因及背景，那么数学的基本思想在课堂教学中该怎样落实，我们该怎么做呢？受篇幅所限，以下仅从三类基本思想中各选一例具体谈谈。

（一）抽象之分类

数学从本质上讲，只研究数量关系和图形关系。那么抽象所起的作用，就是把生活中的与数量、图形有关的东西抽象成概念，并用符号表达。

分类思想作为抽象思想派生出的数学思想，就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决。而这样的过程就是一个抽象的过程。

但我们要明确的是数学的分类有其内在的学科性，我们在教学中要牢牢把握，举一个例子：认识自然数2＼3一课，教师设计了如下的练习，请学生来分类：

学生的答案多种多样。有按种类分的，有按颜色分的，有按个数分的，有按大小分的，甚至有按是否带把来分的……

很显然这位老师在教学中十分注重数学思想的渗透，这样一道习题设计就很具有代表性。可是面对学生如此多的分类，教师又应该如何把握，怎样引导，做何评价呢？究竟哪一种分类才是数学意义上更本质的分类呢？

给出如下的观点：

1. 数学抽象中的分类思想，我们所关注的只是对象的本质特征（数量关系和空间形式），而完全不去考虑其它（本题更本质的分类显然是等数性，无关大小、颜色、形状）。

2. 就分类这一数学抽象思想而言，不能同等地肯定学生的多样化，还应作出必要优化。

3. 在教学中，还应考虑课程设计的科学性。要依据学生的认知水平合理地确定教学内容与总体目标。

再来看一个资料。有分析人士指出，儿童分类能力的发展表现为以下趋势：

第一阶段，从根据事物的非本质的、表面的特征进行分类（如颜色、形状等）；

第二阶段，发展到根据事物的功用进行分类（个别的功能和用途，如可以吃）；

第三阶段，能够根据概念，即客观事物抽象的、本质的特征进行分类。

所以我们说就上一个例子而言，学生多样化的分类正是其认知水平（一年级）的合理体现，一年级教材中诸如此类的分类习题还有很多。面对学生较为合理的分类，教师都要给予学生积极的肯定，但在教学的过程中也要逐步引导，不断比较抽象，进而优化理解更本质的数学分类。

（二）推理之归纳

推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。

以往“双基”都是知识，没有教智慧，没有教从条件预测结果的能力，也没有教从结果探究成因的能力。这种能力靠的是什么？靠的是归纳推理。虽然得到的结论不一定是对的。但正是这样一种推理，才有可能发现一种新的东西。

以我执教的“量的计量复习课”为例（如下图）。

在学生梳理总结出学习过的计量单位后，引导学生进行归纳、联想、类比。还有没有比毫米更小的长度单位？有没有比千米更大的长度单位，……学习了长度单位、质量单位、时间单位，还有没有其他的计量单位呢？米可以用字母m来表示，那么为什么相邻的长度单位之间的进率一般都是10，而质量单位的进率却是1 000，时间单位的进率却千差万别呢？这样的观察、比较，归纳与类比正是在发现新知的过程，如果更多给学生这样发现问题、提出问题的机会，学生获得的就绝不仅仅只是上面的几个数学知识点，而是获取知识的能力以及数学的思维方式。

当然我们也要正确理解推理思想在教学中的渗透。首先，推理是数学的基本思维方式，它贯穿于数学教学的始终；另外合情推理和演绎推理二者不可偏废；最后，就是把握好推理思想教学的层次性和差异性，视学生特点和知识内容而定。

（三）模型之植树问题

数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。 数学建模是一个比较复杂和富有挑战性的过程，这个过程大致有以下几个步骤：

1.理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。

2.把复杂的情境经过分析和简化，确定必要的数据。

3.建立模型，可以是数量关系式，也可以是图表形式。

4.解答问题。

但我们在理解模型思想时却常会产生这样的误区或者单一的认识，即认为建立数学模型就是获得解决相应问题的数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式等。

如果只是记住这样的概念、定理之类，这就还是停留在知识层面，可能随着缺少应用而淡忘。而一旦在学生的头脑中建立起真正的模型思想，即使忘却所谓的公式、定理，也可以依靠已形成的思想再次发现。

以“植树问题”一课为例。

列举如下倾向：有的，设计将问题中的100米调整为20米，以求降低思维难度，便于学生发现规律，建立起所谓的数学模型（公式）；有的教师，在这一内容的处理上，经常通过提供学具，帮学生来理解，甚至是在课堂伊始即出现“一球一棒”的拼接游戏；还有的教师执著于帮学生提炼计算公式，要求学生熟记背诵“两端都栽：棵数=间隔数+1；两端不栽： 棵数=间隔数-1；一端栽树： 棵数=间隔数”。

关于“植树问题”这一内容的研究在我的其他文章中（博客）有详细阐述，在这里不做展开。只想表明如下观点：

1. 100米调整为20米，降低了学生的思维难度，却并没有考虑到所有学生解决问题能力的本质提升，这样获得的问题解决，不是根本意义上的模型建立。学生并没有自己经历一个化繁为简的过程，从简单问题中直接得到答案，也缺少一个归纳推理的过程。如若再遇到类似的其他问题学生可能仍然没有思路，找不到方法，不能独立解答。

2. 这里的学具、教具乃至课件的使用要恰到好处，有面向全体的情况，也要有针对个别的时候。我们设计开放性的探究问题的目的就是关注到不同学生的不同能力和不同发展，同样的问题，可能有些学生一看就会，有些须要计算一下，有些须要画一画、摆一摆的直观操作，还可能完全没有思路。所以学具、教具不宜在开始直接出现。

3. 对于公式的提炼，我姑且提一个大胆的观点。即不出现总结出来的所谓万能钥匙（公式）。其实这里面显然不是知道了公式，学生对于这一知识的数学模型来建立。这需要学生充分理解数量之间的关系，建立起棵树与间隔数（空数、段数等）一一对应的关系。这种建立可以通过学具、图示、计算，甚至是自己的思考，这种建立是一个循序渐进的过程。但可以肯定的是公式不是最终的目标。

由此例我想表达的是对于模型思想的渗透，重要的是让学生经历这样的抽象、推理再到建立模型的过程（如前面的四个步骤），而非只盯在形成的式子上。这其实才是最关键的。

补充一点：

前面关于数学的基本思想从理论到实践谈了很多，最后补充一点。先看这样一个“烧水的故事”：

有好事者曾提出这样一个问题：“假如你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧些水应当怎样去做？”

被提问者答道：“在壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”

提问者肯定了这一回答，接着追问：“如其他条件不变，只是水壶中已有了足够的水，那你又应当怎样去做？”

这时被提问者很有信心地答道：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”

但是提问者说：“物理学家通常都这么做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称已把后一问题转化成先前的问题。”

故事的本意是说数学家“倒去壶中的水”看似多此一举，实则是引导我们感悟数学家独特的转化思想。诚然，数学思想在解决问题时会带给我们很多积极有益的潜移默化影响。但上面故事中所谓数学家的做法是最好的吗？我们是否也应该清醒地意识到在数学研究的过程中，在获得数学思想的同时，也可能会带给我们某些思维定式：我们要深入地思考数学基本思想带来的积极作用，也应当努力看到数学思维的局限性。

由此更应该认识到这样一点，在我们的专业成长道路上应该保持开放、多元的思维方式，我们还要有跳出数学看数学，乃至是跳出教育看数学的眼光、气魄与能力。