非负实数的应用

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非负实数是正实数和零的统称。到现在为止，我们学习过的非负实数有：实数的绝对值、实数的平方、算术平方根中的被开方数及算术平方根的值。同学们要注意这四种非负实数的意义，灵活运用其值大于或等于零的特性，一些问题就能找到快捷的解题途径。

一、字母取值问题

已知a2+m=1，则m的取值范围是（ ）

A.m>1 B.m

分析 将已知等式变形，把含有a的项和不含有a的项移到等式的两边。

解 已知等式化为a2=1-m。因为a2≥0，

所以1-m≥0，化简得m≤1，故答案选D。

若ab≠0，则-■=a3■成立的条件是（ ）

A.a>0，b>0 B.a0

C.a>0，b

分析 由■和■都是非负实数，可以先确定a的取值范围。

解 已知等式化为■=-a3■。

因为■≥0，■≥0，

所以-a3≥0，a3≤0，a≤0。

因为ab≠0，所以a

因为-■>0，所以■

二、化简问题

设■=x-2，■=3-x，则化简2-x+x-3的结果是______。

分析 化简2-x+x-3的关键在于确定2-x和x-3的取值范围。

解 由■≥0，■≥0，得x-2≥0，3-x≥0。

所以2-x≤0，x-3≤0。

所以2-x+x-3=-（2-x）-（x-3）=1。

三、求值问题

若a、b是实数，且a2=■+■+4，则a+b的值是（ ）

A.3或-3 B.3或-1 C.-3或-1 D.3或1

分析 从右边■和■的被开方数都是非负实数入手就能确定b的值。

解 因为b-1≥0，2-2b≥0。

所以1≤b≤1，则有b=1。所以a2=4，a=2或-2。

所以a+b=3或-1，故答案选B。

如果实数m、n满足（m+n-2）2+■=0，则■=_______。

分析 在已知等式中，由于（m+n-2）2和■都是非负实数，其和为零，可以求出m和n的值。

解 在（m+n-2）2+■=0中，

因为（m+n-2）2≥0，■≥0，

所以m+n-2=0，m+3=0。所以m=-3，n=5。

所以■=3。

设6-3m+（n-5）2=3m-6-■，则m-n=______。

分析 确定3m-6的取值范围，就能将6-3m中的绝对值化去，使已知等式的形式化简。

解 已知等式化为6-3m+（n-5）2+■=3m-6。

因为6-3m≥0，（n-5）2≥0，■≥0，

所以3m-6≥0，6-3m≤0。

所以-（6-3m）+（n-5）2+■=3m-6。

所以（n-5）2+■=0。

所以（n-5）2=0且■=0。

由（n-5）2=0，得n=5；由■=0，得m=3。

所以m-n=-2。

四、确定最值问题

若x为实数，且M=■+■+■，则M的最小值为________。

分析 从确定x的取值入手。

解 由x-2007≥0，x-2008≥0，x-2009≥0，得x≥2009。

所以x-2007≥2，x-2008≥1。

所以M≥■+■+■。所以M≥■+1。

当且仅当x=2009时，上式等号成立。

所以M的最小值是■+1。

若实数a、b、c满足等式2a2+3b=6，4a2-9b=6c，则c可能取的最大值是______，最小值是______。

分析 考虑用c的式子分别表示a2和b，再根据a2≥0和b≥0，可确定c的取值范围。

解 已知两等式分别化为b=■，b=■。

所以■=■。所以a2=■，b=■。

因为a2≥0，b≥0，所以3c+9≥0，4-2c≥0。

所以-3≤c≤2。所以c的最大值是2，最小值是-3。