巧用第二个重要极限解1∞型极限

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【摘 要】将第二个重要极限及其变化形式 经过简单演变得到求解 型极限的一个简单公式,

从而大大简化了 型极限的求解过程。

【关键词】第二个重要极限型待定式

【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)09-0095-01

在求解幂指型函数极限的时候,有一种 型的待定式,即当x0或者x∞幂指型函数的底数部分趋近于1,而指数部分趋于∞。求解这类极限可用最传统的方法即使用对数恒等式N=elnN将1∞极限转化为e0•∞,在利用罗比达法则或者等价无穷小代换

对指数求极限即可。在学习了第二个重要极限 也可

以用第二个重要极限对此类极限求解。

例1,求极限 。

解法一:利用对数恒等式,结合等价无穷小代换有:

解法二:利用第二个重要极限,对指数进行配方:

解法一中要使用对数恒等式而且要使用罗比达法则或者等价无穷小代换进行求极限,增加了计算难度,解法二中要求首先将被求极限的底数化为标准形式,而且又要求将指数中的多项式凑出底数中的第二项分母来,再利用第二个重要极限公式进行求解,整个计算过程也很繁琐,我在长期的教学实践中摸索出了巧用第二个重要极限来解决此类 型未定式的好方法。

设有极限 且当x∞时u(x)0,v(x)∞,

则该极限为1∞型待定式。

有第二个重要极限可得

其中无论x∞时底数的第二项如何变化,只要满足底数极限1∞,都可以用上面简化公式求解,应用简化公式时应将原极限底数化为两项,首项为1,第二项前面符号为正,则原极限即可套用简化公式求解,可以证明以简化公式对当x0时的1∞的极限同样适用。我们来用简化公式解例1。

例1,求极限 。

解:原式=

由此我们可看出适用简化公式解决1∞相比解法一和解法二大大简化了计算过程。

例2,求极限 。

解:

例3,求极限 。

解:

例3中将等价无穷小与简化公式结合使用,使得此公式更加简单实用。公式虽然简单实用,但并不是万能的,我们在实际使用的时候一定要注意以下两点:①待定极限中无论是x∞还是x0,原极限只要是 型待定式即可使用该公式。②使用公式时,待定式的底数必须化为标准的(1+u(x))才能得到原极限 。

参考文献

1 周家良、王群智.高等数学[M].西安:西北大学出版社,2006

2 同济大学高等数学教研室编.高等数学(上、下)[M].北京:高等教育出版社,2003

3 北京大学编.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003

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