数系扩充到实数后的体会

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学完实数后，我才真正搞懂，为什么数系要一直扩充. 七年级时为了表示相反意义的量，引入了负数，并学习了负数参与下的运算. 本以为从小学的数系到七年级有理数就很全面了，没想到，这一章又学了实数，知道了一类新数——无理数（无限不循环小数）. 初学时，我却以为，数学又在莫名其妙地出现新的概念、名词，但现在我知道了，数系扩充到实数是很必要的，至少能帮助我理解以前一些不懂的问题，比如：

例1 一个直角三角形的两边长分别是3、4，则第三边长为_______.

这是学习勾股定理时在一本练习册上看到的一道习题，我当时毫不犹豫地写上了“5”，却被老师告知是错的、不全面的. 他后来解释说要让我分类讨论. 分类好办，但是有一种情况却不好办，如图1.

记得当时列式是：BC2=42-32，有BC2

=7. 由于没有想到哪个数的平方等于7，我就舍去了这种情况. 现在学完了实数，才知道，原来第三边也可能是■，只不过这是一个无理数.

例2 怎样在数轴上精确地找到表示无理数■的点.

以前我只是看懂如图2，图3所示的利用正方形的边长和对角线在数轴上找出如■这样的无理数.

后来在教材的启发下，学会了表示■，如图4.

可以发现，这是利用勾股定理在构造无理数的边长. 于是我终于想通了■这样的无理数怎样简洁地在数轴上精确地找出来，请看我的构图5.

容易发现，在RtAOB中由勾股定理得到OB=■，再把这个精确值在数轴上截取出来就得到点C，而点C对应的正是■.

老师还讲过毕达哥拉斯学派的一个门徒为了无理数■，受到教会迫害被扔到海里. 看来，我们现在觉得很自然的无理数，在历史上却也“来之不易”.

教师点评：小作者在初学“实数”后，结合自己此前的一些困惑写成一篇有感而发的短文，值得学习. 值得肯定的是，本文列举的两个例题确实是两个经典例题，例1需要分类讨论，例2需要利用勾股定理构造无理数，这都是在上一章勾股定理学习时难解决的问题（有知识障碍）.同学在这篇短文的启发下，可以反思自己还有哪些类似的问题，这样的自主反思、积累，才是阅读本文后更有意义的收获.

（指导教师：江海人）