“老师,能用这种方法求解吗?”

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前几天本人听了一堂高三数学复习课，课题是直线与椭圆的位置关系.其中有一道题是：点A，B是椭圆〖SX（〗x2a2〖SX）〗+〖SX（〗y2b2〖SX）〗=1（a>b>0）上不同的两点，弦AB的垂直平分线与x轴的的交点为P（x0，0），求证：-〖SX（〗a2-b2a〖SX）〗

老师先提示本题是有关弦的中点问题，所以可用点差法来求解.然后师生一起得到如下解法：

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点C（x3，y3），由已知可得：x1≠x2，

〖SX（〗x21 a2〖SX）〗 + 〖SX（〗y21 b2〖SX）〗 = 1① 〖SX（〗x22 a2〖SX）〗 + 〖SX（〗y22 b2〖SX）〗 = 1②

①-②得：〖SX（〗（x1-x2）（x1+x2）a2〖SX）〗+〖SX（〗（y1-y2）（y1+y2）b2〖SX）〗=0

x1+x2=2x3，y1+y2=2y3，〖SX（〗y1-y2x1-x2〖SX）〗=kAB，〖SX（〗x3a2〖SX）〗+kAB〖SX（〗y3b2〖SX）〗=0，kAB=-〖SX（〗b2x3a2y3〖SX）〗，

当y1≠y2时，kAB≠0，于是弦AB的垂直平分线的斜率为-〖SX（〗1kAB〖SX）〗=〖SX（〗a2y3b2x3〖SX）〗

从而有弦AB的垂直平分线的方程为：y-y3=〖SX（〗a2y3b2x3〖SX）〗（x-x3）

令y=0，得x0=x3-〖SX（〗b2a2〖SX）〗x3=〖SX（〗a2-b2a2〖SX）〗x3

-a

当y1=y2时，弦AB的中垂线是y轴，所以x0=0，满足上述不等式，所以原命题成立.

这道题顺利解决之后，老师准备讲另外一道题了，这时有一位学生起来说：“老师，这道题可以用直线AB的方程和椭圆方程联立方程组来求解吗？”老师对学生的这个问题好象没有思想准备，表情有点尴尬，有点慌乱.不过老师很快平静下来，然后师生一起用联立方程组的方法来求解：

由已知得，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为：y=kx+t，

由〖JB（{〗〖SX（〗x2a2〖SX）〗+〖SX（〗y2b2〖SX）〗=1y=kx+t〖JB）〗 消去y得：（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2t2-a2b2=0，

Δ=4a4k2t2-4〖JB（（〗a2k2+b2〖JB））〗〖JB（（〗a2t2-a2b2〖JB））〗>0

化简即得a2k2+b2>t2，做到这里时，老师连呼“这样做太麻烦了，太麻烦了”，显得有点不耐烦了，不过还是继续与学生一起求解下去.

设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点C（x3，y3），

x3=〖SX（〗x1+x22〖SX）〗=-〖SX（〗a2ktb2+a2k2〖SX）〗，y3=kx3+t=〖SX（〗b2tb2+a2k2〖SX）〗

从而C的坐标为（-〖SX（〗a2ktb2+a2k2〖SX）〗，〖SX（〗b2tb2+a2k2〖SX）〗），

弦AB的垂直平分线的方程为：y-〖SX（〗b2tb2+a2k2〖SX）〗=-〖SX（〗1k〖SX）〗（x+〖SX（〗a2ktb2+a2k2〖SX）〗）（k=0时，x0=0）

令y=0，得x0 = 〖SX（〗（b 2-a2）ktb2 + a2k2〖SX）〗.

做到这里老师说，这个式子里边出现“k，t”这两个变量，很难与刚才得到的不等式a2k2+b2>t2联系起来，看来这种方法不能求解，老师显示出很不耐烦的表情.他说，本来我们就不应该用这种方法来求解，好了，大家就用点差法来解决这个问题吧！然后就讲解别的例题了.

这位老师以这么坚定地语气和这种方式来处理这种解法令我们听课老师很惊讶！难道这种方法真的不能求解吗？课后我思考了一下，a2k2+b2>t2与x0 = 〖SX（〗（b 2-a2）ktb2 + a2k2〖SX）〗里边虽然有两个变量，但可以想方设法消去一个变量，只要将x0 = 〖SX（〗（b 2-a2）ktb2 + a2k2〖SX）〗两边平方，再结合前面这个不等式就可以消去t2，x20 = 〖SX（〗（b 2-a2）2k2t2（b2 + a2k2）2〖SX）〗，

a2k2+b2>t2，

x20 < 〖SX（〗（b 2-a2）2k2（b2 + a2k2）2〖SX）〗（a2k2 + b2） = 〖SX（〗（b 2-a2）2k2b2 + a2k2〖SX）〗 = 〖SX（〗（b 2-a2）2〖SX（〗b2k2〖SX）〗 + a2〖SX）〗 < 〖SX（〗（b 2-a2）2a2〖SX）〗

-〖SX（〗a2-b2a〖SX）〗

原来是可以求解的呀，而且也不是很难想到啊！

事实上用联立方程组的方法之后还可以如下求解：

弦AB的垂直平分线的方程为：y-y3=-〖SX（〗1k〖SX）〗（x-x3）

令y=0得：x0=ky3+x3=〖SX（〗b2tkb2+a2k2〖SX）〗+x3，x3=-〖SX（〗a2ktb2+a2k2〖SX）〗

x0=x3・（-〖SX（〗b2a2〖SX）〗）+x3=x3（1-〖SX（〗b2a2〖SX）〗）=〖SX（〗a2-b2a2〖SX）〗x3（这同用点差法得到的结论是一样的）.

-a

-〖SX（〗a2-b2a〖SX）〗

就这一道题而言，点差法确实是比用联立方程组的手段要方便些.但是从现在高考考查的试题来看，点差法这种方法在淡化，而用联立方程组的方法却是解决直线与圆锥曲线位置关系的通法.

这堂课内老师的做法是欠妥的.首先他不该轻易下结论，这种方法不能求解这个问题.课堂上碰到某一较难问题时，绝对不能轻易下结论不能解决或者就此放弃掉，实际上课堂上碰到思维卡壳是提高学生思维能力的绝佳时机，我们要引导学生如何突破这个难关，要舍得在这里花时间.万一真的不能解决，也得让学生弄明白，为什么会解决不了，这种解题过程中也有地方是可以借鉴的.

其次，上课解题时，碰到有一定计算量的题目时，老师不该流露出不耐烦的情绪，这样对培养学生的计算能力，培养学生的耐心、学生的毅力是很不利的.我们都知道圆锥曲线题是高考必考题，而且这道题都是有比较大的计算量.要想顺利解决这道题，学生必须有比较好的计算能力，如果连老师碰到计算量大的题就不耐烦，培养出来的学生怎么可能有很好的耐性去解决圆锥曲线这道题呢？

再次，老师不该一开始就提示学生这道题是有关弦的中点弦问题，从而用点差法解决.这不符合以学生为主体，在课堂中要积极开展“自主学习，探究性学习”的新课程理念.如果老师事先不提示，学生往往首先会想到用联立方程组的这种通法来求解.然后在得到a2k2+b2>t2与x0 = 〖SX（〗（b 2-a2）ktb2 + a2k2〖SX）〗这两个关系之后，让学生去自主探索，如何解决两个变量问题，这样就会让学生们的思维活动推向高潮，学生的思维能力在这个过程中就会不知不觉得到提高.

我们教师一定要真正转变教学观念，树立教学是“为了学生的发展”这个最高宗旨和核心理念，并将这一宗旨和理念落实到教学实践中去，而不是停留在口头上.

（作者单位：浙江省温州中学325014）