利用不等长缓和曲线公式计算和绘制回头曲线

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摘要：讨论不等长缓和曲线的特性，以及利用不等长缓和曲线公式计算和绘制回头曲线的方法

关键词：不等长缓和曲线回头曲线切线长曲线全长外矢距

目前我国轨道交通飞速发展，在轨道交通线路设计中，有时受条件限制会使用不等长缓和曲线，甚至是回头曲线。由于不等长缓和曲线和回头曲线的计算都相对比较复杂，在过去往往是分别进行计算，而不等长缓和曲线及回头曲线的计算具有一定的内在联系，是否能将其统一在一个计算公式中，本文对此进行一些探讨。

1、不等长缓和曲线的平面要素计算

由于平曲线两端的缓和曲线不等长，因此在计算平曲线各要素时，不能简单套用等长缓和曲线计算公式。

1）切线长计算

如图1所示，平曲线两端的缓和曲线l1和l2不等长，因此两边的切线也不相等，需分别进行计算。

图1切线长计算图

其中：

2）曲线全长计算

我们知道当圆曲线在增加缓和曲线后，缓和曲线约有一半的长度是靠近直线部分，而另一半长度是靠近圆曲线部分，原来圆曲线的两端其圆心角为β相对应的那部分圆弧被缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下HY到YH这段长度L园。当缓和曲线l1和l2不等长时，根据弧长计算公式可得L园=R(α-β1-β2)，而曲线全长L=L园+l1+l2。

如图2所示，设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为这一点上曲线的曲率半径；ι为从ZH点到计算点的缓和曲线长。

图2切线角计算示意图

则：（已知）

当l=l0时，β=β0，即：

当l1和l2不等长时，，，

3）外矢距计算

在线路中曲线的外矢距起到控制曲线的作用，这里定义不等长缓和曲线的外矢距为交点至曲线中点的距离，则：

4）不等长缓和曲线各控制点坐标的计算

以ZH点为圆心，切线方向为X轴，建立平面直角坐标系，则：

（1）HY点坐标：

（2）QZ点坐标：

同理，以HZ点为圆心，切线方向为X轴，建立平面直角坐标系，则：

（3）YH点坐标：

（4）QZ点坐标：

2、不等长缓和曲线及回头曲线的关系及绘制方式

在曲线测设中，曲线偏角大于180°时，称为回头曲线。如图3所示，回头曲线与普通曲线的偏角关系为α0=360°－α。将偏角α0带入上述不等长缓和曲线计算公式可计算出回头曲线的曲线要素。

曲线绘制时分别以ZH点、HZ点为圆心，ZH(HZ)至交点的切线方向为X轴正方向，反之为负方向，建立平面直角坐标系。曲线绘制时普通曲线以正方向绘制，回头曲线以负方向绘制。

图3回头曲线与普通曲线的关系图

3、实例分析

某个曲线，R=300m，l1=40，l2=20，α=104°39′46″，分别按不等长缓和曲线和回头曲线计算和绘制。

将上述公式通过EXCEL编制计算如下：（由于计算公式的角度采用的是弧度，所以在计算时需将角度换算成弧度）

1）不等长缓和曲线

2）回头曲线

4、结束语

不等长缓和曲线的计算公式可以看成曲线计算的一般公式，而等长缓和曲线和回头曲线分别作为其不同的特殊情况，这样可将曲线计算统一为一个公式，便于软件编程，提高效率，对实际应用有指导意义。

参考文献

[1] 吕益恕. 铁路勘测与设计. 北京: 中国铁道出版社，1994年

[2] 潘延玲. 测量学. 北京: 中国建材工业出版社，2002年

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。