数学思想在二次函数中的应用

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数学知识和数学思想是数学的两大支柱. 数学思想是数学知识的灵魂，是锻炼数学能力、形成数学意识的桥梁. 数学思想方法是从数学知识中抽象概括出来的对数学内容的本质认识. 数学思想在《二次函数》这一章中有较多的应用，本文对有关应用归纳如下，供同学们学习参考.

一、 方程思想

通过列方程（组）求解数学问题的一种解题策略，我们称之为方程思想. 在本章中许多问题都可以通过列、解方程（组）解决，其中方程思想体现最多的是利用待定系数法求二次函数解析式.

例1 已知二次函数的图象顶点是（1，-4），且经过点（3，0），求这个二次函数的解析式.

【分析】为了拓宽同学们的视野，我们分别采用一般式、顶点式及交点式三种方法求二次函数解析式.

【解法1】设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，根据题意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.

解得a=1，b=-2，c=-3.

所以二次函数解析式为：y=x2-2x-3.

【解法2】因为抛物线的顶点为（1，-4），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

【解法3】因为抛物线的顶点为（1，-4），且经过点（3，0），可知抛物线经过点（-1，0），所以设二次函数的解析式为：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，则二次函数解析式为：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.

【点评】方程思想体现了已知与未知的对立统一关系，解法1是设一般式求解，即利用顶点坐标公式和点的坐标满足解析式来列方程组；解法2是利用顶点式求解；解法3利用抛物线与x轴的两个交点，得到交点式解析式，然后把点（1，-4）代入所设的解析式，从而得解. 显然解法2是本题的最佳解法.

二、 数形结合思想

“数无形时少直观，形少数时难入微 ”，数形结合思想就是充分利用数量关系和图形的结合，寻求解题思路，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，从而达到以形助数、以数解形的效果.

例2 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列5个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c

A. 2个 B. 3个

C. 4个 D. 5个

【分析】观察抛物线的位置走向、关键点的位置坐标以及解析式中各系数与图象的对应关系，从而作出判断.

解：观察图象可知，抛物线开口向下，得a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的上方，可得c>0，则abc

【点评】二次函数的图象与二次函数中的字母系数有着密切关系，利用二次函数的图象信息，将数与形有效地结合与转化，根据图象信息转化为方程或不等式再求解，从而较好地实现以形助数、以数解形的效果，这也是近几年中考的热点.

三、 函数模型思想

函数模型思想意在把错综复杂的实际问题简化、抽象为数量间关系，即用数学语言描述实际现象. 生活中的许多问题，如最大利润、最小成本、方案最优化等，常常需要建立函数模型解决.

例3 某宾馆客房部有60个房间供游客居住.当每个房间的收费定为每天200元时，房间可以住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元，求：

（1） 房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数解析式；

（2） 该宾馆每天的利润W（元）关于x（元）的函数解析式；当每个房间的定价为每天多少元时，W取得最大值.

【分析】每天的入住量=总房间数-每天的定价增加量÷10，每天的房间收费=每间定价×每天入住量，每天的利润=每天的房间收费-各种费用总和.

解：（1） y=60-■x；

（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 当x=210时，W有最大值15 210，此时，x+200=410，即当每个房间的定价为每天410元时，W有最大值是15 210元.

【点评】二次函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型. 一般先根据题意把实际问题中的条件转为数学条件，再确定函数解析式，利用函数解析式去解决实际问题. 求解过程中关键要求出自变量的取值范围，再运用二次函数的性质求解.

四、 转化思想

转化思想是将未知问题或难以解决的问题，通过观察、分析、类比等途径，转化为我们已解决或易于解决的问题.简单地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，通过转化，使复杂问题变得简单.

例4 利用函数图象判断方程2x2-x-1=0有没有实数解，若有，求出它的解（精确到十分位）.

【分析】求一元二次方程的近似解可以转化为用函数图象解方程，这里介绍两种方法：一是看函数y=2x2-x-1与x轴交点的横坐标；二是看二次函数与一次函数图象交点的横坐标，如看函数y=2x2与y=x+1的图象的交点的横坐标.

【解法1】设y=2x2-x-1，则方程2x2-x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标. 同学们不妨在平面直角坐标中画出函数y=2x2-x-1的图象，设其与x轴交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【解法2】在平面直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=x+1的图象，得到两函数图象的两个交点A、B，且A、B两点的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.

【点评】转化思想就是换一种方式去思考，使问题朝着有利于解决的方向去发展.本例把求一元二次方程的近似解转化为利用函数图象解方程，从而达到化抽象为具体、化复杂为简单的效果. 转化思想在本章中有很多的应用，如通过平移二次函数图象把复杂的二次函数转化为简单的二次函数，如通过观察二次函数的图象巧妙地求解一元二次不等式问题以及一元二次方程的有无实数解问题，如把实际问题中的求最值问题转化为二次函数的求最值问题等等.学好用好转化思想，有如顺水推舟，能大幅提升解题能力.

五、 分类思想

当问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解，这种方法称之为分类讨论思想. 分类必须遵循以下两条原则：（1） 每一次分类要按照同一种标准进行；（2） 不重复，不遗漏.

例5 如图2所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），求S关于t的函数关系式.

【分析】当0≤t≤4时，随着直线l的平移，点N在线段OC上，点M可能在线段OA上，也有可能在线段AB上，因此计算OMN的面积时要进行分类讨论.

解：当0≤t≤2时，点M在线段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；

当2≤t≤4时，点M在线段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.

例6 若函数y=（a-1）x2-2ax+a与x轴总有交点，求a的取值范围.

【分析】由于题设中未说明函数的次数，也未说明图象与x轴的交点个数，因此题设中的函数可能是二次函数也可能是一次函数.

解：当a-1=0时，即当a=1时，原函数是一次函数y=-2x+1，显然与x轴有一个交点. 当a-1≠0时，解得a≠1，原函数为二次函数，由函数与x轴总有交点，可得：Δ=4a2-4（a-1）a≥0， 最终得a≥0且a≠1. 综上可得，a的取值范围为a≥0.

【点评】在二次函数这一章节中，分类思想的应用有很多，我们要认真审题，找出各种可能的情况，通过对各种情况的分析，全面、透彻地解答问题. 在对问题的分类讨论时，要克服思维的片面性，防止漏解、错解.