例谈“无处不在”的计数问题
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有一类计数问题，它是以解析几何、立体几何、函数、方程等知识为对象.跟实际生活中的排列组合问题相比较，有一点是相同的，那就是都讲究“分类讨论”的思想方法.但这类问题常常更偏重于“数学问题”本身的知识和方法.也有它独特的一些思路.因这类问题的存在，于是显得“无处不计数”.
一、 与立体几何有关的计数问题
例1 如果两条异面直线称为“一对”，则在正方体的八个顶点之间的所有连线中，成异面直线的共有 对.
解析方法一 所有连线包括12条棱，12条面对角线，4条体对角线.而每条棱与4条棱、6条面对角线、2条体对角线异面，每条面对角线与6条棱、5条面对角线、2条体对角线异面，每条体对角线与6条棱、6条面对角线异面，且以此计数时，每对异面直线都会被计两次，故答案为［12×(4+6+2)+12×(6+5×2)+4×(6+6)］÷2=174.
方法二 先思考以下两个问题：（1） 以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个；（2） 如果两条异面直线称为“一对”，则任意三棱锥的六（C24）条棱中，有多少对异面直线？不难得到（1）的答案是C48-12=58，（2）的答案是3，故本题的答案为58×3=174.
点评方法一分类讨论，“死排死算”，比较繁，容易错.方法二则利用转化思想，化陌生为熟悉，比较巧妙、简捷，把问题转化为熟悉的问题去解决.
例2 若以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥的个数为n，则n不可能是（ ）
A C48-6
B C48-8
C C48-10
D C48-12
解析需要分3类情况讨论：底面为平行四边形时，有C48-12个；底面为梯形时，有C48-10个；底面为任意不规则四边形时，有C48-8个.故选A.
点评这里所用的分类方法是考虑可能出现的每一类情况，而且这里的分类更注重的是总体几何知识，即四棱锥的特征与异面直线的概念等.
例3 已知平面α与β所成的锐二面角是80°，P是α，β外一定点，过P的一条直线与α，β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）
A 1条B 2条
C 3条D 4条
解析将点P移到α，β的交线上，假设直线l过点P且与α，β成等角θ，令Q是l上的另一点，点Q到平面α，β的距离分别为d1,d2,则sinθ=d1PQ=d2PQ,所以d1=d2.
故直线l应分布在α，β所形成的二面角的“平分平面”γ，δ（注意有两个，如图1）上.
图1
考虑l∈γ，当l为α，β的交线时，等角θ取最小值为0°,在l绕点P旋转的过程中，当l垂直于α，β的交线时，等角θ取最大值40°，再继续转动，则等角θ逐渐减小直到0°，即θ的变化过程是0°40°0°.在这个过程中，显然可以找到符合条件的两条直线.
而考虑l∈δ，则等角θ的变化过程为0°50°0°，所以也可以找到两条符合条件的直线.
故选D.
点评若将题中的80°改为θ，30°改为φ，其中0°＜θ≤90°,0°＜φ≤90°,则有一般性结论：若φ＜θ2，则有4条；若φ=θ2，则有3条；若π-θ2＞φ＞θ2,则有2条；若φ=π-θ2，则有1条；若φ＞π-θ2,则有0条.
这里关键是在0θ20及0π-θ20里寻找φ，即θ2，π-θ2与φ的大小关系决定了直线数的多少.
二、 与平面（解析）几何有关的计数问题
例4 在坐标平面内，与点A（1，2）的距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 条.
解析这个问题的本质是求以A为圆心，1为半径的圆与以B为圆心、2为半径的圆的公切线的条数，进而转化为求两圆的位置关系.即若内含，则不存在；若内切，则有一条；若相交，则有两条；若外切，则有三条；若相离，则有四条.这里两个圆是相交的，故有两条.
例5 过点P（1，1）作直线l，若l与双曲线x2-y24=1有且只有一个公共点，则满足上述条件的l有（ ）
A 1条B 2条
C 3条D 4条
解析解本题的关键也是分类，第一类是与渐近线平行的直线，第二类是切线.根据点的位置，又要考虑左支与右支的切线，还要考虑左（右）支的切线是否与右（左）支相交.答案是4条.
例6 椭圆x216+y29=1上到直线x4+y3=1的距离为15的点有（ ）
A 1个B 2个
C 3个D 4个
解析解此题的关键是求出椭圆上直线两侧的点到直线的最远距离d1与d2(d1＜d2).若d1＞15,则为4个；若d1=15,则为3个；若d1＜15＜d2,则为2个；若d2=15,则为1个；若d2＜15,则为0个.即15与d1,d2的大小关系决定了点数的多少.
求d1与d2用传统的方法则比较复杂，而用线性规划知识则可以大大简化.即设椭圆上的任意一点为（4cosθ,3sinθ）,若该点在直线上方，则有d=12|cosθ+sinθ-1|5=12(cosθ+sinθ-1)5≤12(2-1)5因为x04+y03-1＞0;若该点在直线下方，则有d=12|cosθ+sinθ-1|5=12(-cosθ-sinθ+1)5≤12(2+1)5因为x04+y03-1＞0.所以d1=12(2-1)5,d2=12(2+1)5.故选D.
三、 与函数、方程有关的计数问题
例7 从-1，0，1，2，3这五个数中选出三个不同的数，作为二次函数y=ax2+bx+c的系数.
（1） 开口向上的抛物线有多少条？
（2） 开口向下的抛物线有多少条？
（3） 开口向上且不过原点的抛物线有多少条？
（4） 与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？
（5） 与x轴的负半轴至少有一个交点的抛物线有多少条？
解析按照不同的要求，对系数进行有限制地选取.
（1） 依题意，a＞0,选a有C13种方法，选b,c有A24种方法，故共有C13・A24=36条.
（2） 依题意，a＜0，选a有1种方法，选b,c有A24种方法，故共有A24=12条.
（3） 依题意，a＞0，c≠0，故共有C13・C13・C13=27条.
（4） 依题意，ca＜0.当a＞0,c＜0时，有C13・C13种选法；当a＜0,c＞0时，也有C13・C13种选法.所以共有C13・C13+C13・C13=18条.
（5） 分三类：① 与x轴的正半轴、负半轴各有一个交点，由（4）知有18条；
② 过原点且与x轴的负半轴有一个交点，这时c=0,ab＞0,有A23条；
③ 与x轴的负半轴有两个不同的交点，此时必须满足Δ≥0,ba＞0,ca＞0,得b=3,a,c∈{1,2},故有A22条.
所以共有18+A23+A22=26条.
例8 从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个？
分析前一问的限制条件是a≠0;后一问的限制条件是Δ≥0且a≠0，即b2-4ac≥0且a≠0.
解首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种；而b,c可从余下的4个中任取2个排列，有A24种.
所以一元二次方程共有A14・A24=48个.
要使一元二次方程有实根，必须使Δ=b2-4ac≥0.为此，可分类如下：当c=0时，a,b可在1，3，5，7中任取两个排列，有A24种；当c≠0时，b只能取5，7.当b=5时，a,c只能取1，3排列，有A22种；当b=7时，a,c可以取1，3或1，5排列，有2A22种.
所以有实根的方程共有A24+A22+2A22=18个.
点评本题后一问的限制条件比较隐蔽，须进行认真分析.对有实根的方程，因为Δ≥0，且a≠0,所以b也不能为0，从而须对c能否为0进行讨论.
四、 现实生活中的计数问题
例9 为了预防甲型H1N1流感，按照中国卫生部的计划，国家达标免疫接种门诊陆续在各地区接种疫苗.某地学生优先接种甲型H1N1流感疫苗，为了保证接种安静有序地进行，学生排队进入接种室，6人一组.甲、乙两人同在一组，由于两人平时好讲话，班主任要求该组排队时甲、乙不相邻，那么该组共有几种排法？
解析可先让除甲、乙以外的其余4人站好，有A22种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选出2个让甲、乙插入，有A25种排法.这样共有A44・A25=480种排法.
点评对于某几个元素不相邻的排列问题，可用“插空法”.
例10 2009年11月21日凌晨2时30分，黑龙江龙煤控股集团鹤岗分公司新兴煤矿发生瓦斯爆炸事故.新兴煤矿“11・21”瓦斯爆炸事故发生后，救援工作立刻抓紧进行，原定的6个营救小组已排好出发顺序，可出发前又增加了3个小组，如果将这3个小组加入到原顺序中，那么不同的加入方法有多少种？
解析原定的6个营救小组和新增加的3个小组共9个小组，若先不考虑原定的顺序，这9个小组的排法有A99种，又原来的6个营救小组的相对顺序有A66种，但实际上顺序已定，故将这3个小组加入原顺序中，那么不同的加入方法有A99A66=7×8×9=504种.
点评对于部分定序的排列问题，可用总的排列数除以部分元素的全排列数.
1 已知异面直线a与b所成的角是80°,P是空间任意一定点，过P的一条直线与a,b所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）
A 1条B 2条
C 3条D 4条
2 设F1，F2是椭圆x28+y24=1的两个焦点，P是椭圆上的一点，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则这样的点P有（ ）
A 2个B 4个
C 6个D 8个
3 二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c在集合{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？
4 从1到9的自然数中选出相异的三个数作为一组，用有序数组a，b，c表示，且a＞b＞c,让每一数组分别对应一条直线ax+bx+c=0，则这样的（相异的）直线有多少条？
5 第十一届全国运动会于2009年10月16日在山东举行.十一运期间，山东大学是主要承担十一运志愿服务工作的高校之一.其中有一天，需要从山东大学某班派出的包括班长在内6名志愿者中选出3人，分配到3个不同的十一运场馆参加接待工作，每个场馆一人，其中班长一定要参加，问共用多少种排法？