中考中与圆有关的最值问题

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近年来，中考数学试题中出现与圆有关的最值问题.这类题〖JP3〗目比较灵活，教学中，发现学生往往对这类问题感到无从下手.其实，这类问题是有规可循的．解题时，有两种常见思路：思路一是采用“一析、二求”的方法进行，取最值时图形必处于特殊状态（等腰、垂直、过圆心、相切等），可以先分析出这一状态，然后再就特殊状态下的图形，数形结合地求出最值；思路二是将图形的最值问题化归为函数的最值问题求解.下面分“显圆”和“隐圆”两类问题举例加以说明.

一、显圆最值问题（即圆直接给出）

例1（2012年宁波市中考试题）如图1，ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．

分析 ：连接OE，OF，因为∠BAC=60°，所以圆心角∠EOF=120°，过O点作OHEF于H，则 EH EO =

3 2 ，故EF=

3OE.因此要使线段EF最小，只需半径OE最小或直径AD最小，由“垂线段最短”可知，当AD为ABC的高时，直径AD最小.此时ABD是等腰直角三角形，AD= AB 2 =2，半径OE=1，故EF=

3.即线段EF长度的最小值是3.

例2（2007年常州市中考试题）如图2，在ABC中，

AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（ ）

(A) 4.75 (B) 4.8(C) 5(D) 42

分析 ：由AB=10，AC=8，BC=6，可知∠ACB=90°，故线段PQ为直径，故本题其实是求动圆的直径的最小值.设切点是点E，连结OE、OC，则直径PQ= OE+OC，求PQ的最小值转化为求OE+OC的最小值问题，OE+OC的最小值就是在

RtABC中C点到AB的距离，也就是RtABC斜边上的高CF.以高CF为直径作圆O即可实现OE+OC=CF，也满足圆O与边AB相切.从而PQ长度的最小值等于6×8÷10=4.8.故选(B).

例3（2013年武汉市四月调考试题）如图3，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）.

(A) 3 (B) 6 (C)33 2(D) 33

分析 ：因为∠BAC=60°，所以∠DPE=120°，故DE=

3PE=3PA，当PA最大时，DE最大，而当点P为AO延长线与圆O交点时，PA最大，此时PA=3，故DE最大值为33，即选(D).

例4 （2010年苏州市中考试题）如图４，已知Ａ、Ｂ两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，圆C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若Ｄ是圆C上的一个动点，线段DA与y轴交于点

E，则ABE面积的最小值是（ ）

(A) 2 (B) 1

(C) 2- 2 2(D) 2-2

分析 ：ABE中BE边上的高AO=2，要使面积最小，只需

BE最短，由图知DE为圆C切线时，BE最短（如图5）.此时，连接CD，则CDAD，因为CD=1，AC=3，所以AD=22.又

tan∠DAC= CD AD =

OE OA ，所以

1 22 =

OE 2 ，因此

OE= 2 2 ，

BE=2- 2 2 .故此时

ABE面积为

2- 2 2 ，因此选择(C).

例5 如图6，AB为O的直径，ACAB于点A，BDAB于点B，AB=AC=2，BD=3，点P为O上一动点，则PCD的面积的最大值是 ，最小值是 .

分析 ：如图7，过点C作CEBD于点E，则CE=2，DE=1，CD=

5.因此要求PCD的面积的最大、最小值，只需求点P到CD的距离的最大、最小值.显然圆心O到直线CD的距离减去半径是点P到CD的距离的最小值，圆心O到直线CD的距离加上半径是点P到CD的距离的最大值.易证OCCD，设直线OC与O的两交点分别是P1，P2，则

P1C=5-1，P2C=5+1

，从而PCD的面积的最大值是

1 2 ×5×

(5+1)=

5+5 2

，面积的最小值是

1 2 ×5×

(5-1)=

5-5 2 .

二、隐圆最值问题（即圆隐藏）

例6 如图8，已知点A、B的坐标分别是（0，4）和（0，2），在 轴正半轴上取一点C，使∠ACB最大，则点C的坐标是 .

分析：本题似乎和圆没什么关系，但其实我们可以构造辅助圆解决问题.如图，作ABC的外接圆Q，过点Q作QDAB于点D，则点D为AB的中点，且∠ACB=∠DQB，故 ，因为锐角越大，其正弦值就越大，所以要使∠ACB最大，其正弦值要最大，即半径 要最小.而 ，显然当CQ 轴时， 最小，此时Q与 轴相切，切点是点C.因为 ，所以 ，即点C的坐标为（ ）.

例10 （2012年武汉市中考试题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．

分析：由 可知，点 为第一象限以A为圆心，半径为2的圆上一点，如图13， 为锐角，而锐角的正切值随角度的增大而增大，所以本题关键是确定 的最小值，显然，当OC与圆A相切时， 最小， 的值最小.此时AOC是直角三角形， ，故 .

例11 如图14，已知∠MON=90°，长为8的线段AB的两端点A、B分别在OM、ON上移动，点P为∠MON内部一动点，且∠APB=90°.

（1）线段PO的长度的最大值是；（2）求AOB的周长的最大值.

分析：（1）因为∠MON=∠APB=90°，所以A、P、B、O四点在以AB为直径的Q上（如图15），因此PO是Q的弦，故当PO是直径时，其长度最大，所以线段PO的长度的最大值是8；（2）因为AB为定值，所以当OA+OB的值最大时，AOB的周长的最大.作∠MON的平分线，交Q于点D，联想圆中常见的基本结论，可知 ，故当OD最大时，OA+OB的值最大，显然，OD的最大值是8，故AOB的周长的最大值为 .

例12（2012年义乌市中考试题）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1．如图16，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

分析：ABC绕点B按逆时针方向旋转时，点P也绕点B按逆时针方向旋转，故其对应点 在以B为圆心，PB为半径的圆上.如图17，过点B作BDAC于点D，则BD= .由于点 为线段AC上一动点，因此半径PB的范围是 ，即 .故点 在以点B为圆心，半径分别是 和5的圆环区域（即图中阴影部分，含圆周）.设线段AB交小圆于点 ，射线AB交大圆于点N，显然当点 与点M重合时，线段 的长度最小，此时 ；当点 与点N重合时，线段 的长度最大，此时即线段EP1长度的最大值是7，最小值是 .

例13（2013年武汉市中考试题）如图18，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .

分析：容易证明AEB≌DFC，所以∠ABE=∠DCF，由对称性可知，∠DCF=∠DAH，故∠ABE=∠DAH，从而可证AHBH.所以点H在以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆上（实际上，当点E与点A重合时，点H也与点A重合，当点E与点D重合时，点H与BD的中点K重合，故点H在 上）.点D是O外一定点，点D到O上各点的最短距离是DO的长度与半径OA长度的差，易求得DO= ，OA=1，故线段DH长度的最小值是 .