常见特色填空题的解法

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填空题是将一个数学命题写成缺少一些词语的形式，要求考生将缺少的词语填写在指定的空位上，使之成为一个完整正确的数学命题.而填空题中的特色题形式灵活、答案唯一、考查基本知识和基本能力，解题过程中容易产生错误，失分率较高，因此探求填空题中的特色题的解法就显得十分必要，下面结合例题介绍填空题中的特色题的常见类型及其方法，供大家参考.

一、新定义问题

就是给出新定义的概念、公式、定理或运算法则等，然后根据新定义解决相关问题.解决此类问题的方法是弄清新定义的意义，应用新定义，根据题意将问题转化为我们熟悉和已掌握的知识解决.

例1 开区间也可以称为邻域：对于任何实数a及正数ε，把开区间（a-ε，a+ε）称为a的ε邻域.可用符号O（a，ε）表示.试用新符号写出同时包含于两个邻域O（0，1）与O（-1，1）中的一个邻域 （只要写出一个即可）

解析：根据题意，可以考虑对邻域概念进行模仿写出O（0，1）和O（-1，1）.因为O（0，1）=（-1，1），O（-1，1）=（-2，0），所以O（0，1）∩O（-1，1）=（-1，0）.令a-ε=-1，a+ε=0.解得a=-12，ε=12..故可取邻域O（-12，12）.

答案：O（-12，12）.

评注：对一个新概念的现学现用，有点即兴发挥的味道，这类问题只需要我们抓住新概念的本质，进行基本的模仿和应用就可得出结果.

二、归纳类比问题

归纳类比问题就是根据两个或两类对象有部分属性相同（近），从而推出它们的其他属性也相同（近）的推理问题.它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提，推出两个事物的其他属性相同的结论的推理问题.

例2 在平面几何里有勾股定理：“设ABC中，∠ACB=90°，AB2=AC2+BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积之间的关系，可以得到的结论是： .

解析：类比条件（平面空间、结构的相似性、边长面积）：两边AC、BC互相垂直边垂直面垂直平面空间侧面ABC、ACD、ADB互相垂直；结论：AB2=AC2+BC2边长面积结构的相似性S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD.因此，猜想的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD.”

证明：如图所示，作AO平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直，可得三侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为BCD的垂心.在RtDAE中，AODE，有AE2=EO・ED，得S2ABC=14BC2・AE2=（12BC・EO）（12BC・ED）=SBCD・SOBC.同理S2ACD=SBCD・SOCD，S2ADB=SBCD・SOBD.故S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD.

答案：设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S2ABC+S2ACD+S2ADB=S2BCD.

评注：此类问题要求我们能够对已经掌握的数学知识和方法与要解决的问题进行类比，因此，对归纳、猜想、推广和创新的能力要求较高.

三、多选填空题

就是给出多个对象，根据题目要求对每个对象判断其真假，然后填写满足题意要求的对象的序号.

例3 设函数f（x）的定义域为D，如果对于任何一个x1∈D，都有唯一的x2∈D和它对应，并使f（x1）+f（x2）2=C（C为常数）成立，则称函数y=f（x）在D上的均值为C.给出下列四个函数：①y=x3；②y=4sinx；③y=lgx；④y=2x，则满足在定义域上均值为2的函数是 （把满足题意的所有函数的序号都填上）.

解析：首先弄清函数y=f（x）在D上的均值为C的意义，根据f（x1）+f（x2）2=C，进行验证.

①由于y=x3，对任意一个x1∈R，都有x31+x322=2，则x32=4-x31.由于y=x3为R上的单调函数，所以x2=34-x31存在且唯一.故满足题意.

②对于y=4sinx，对任意一个x1∈R，都有4sinx1+4sinx2=4，即sinx2=1-sinx1.而1-sinx1∈[0，2]，sinx2∈[-1，1].若sinx2∈[-1，0），显然不满足题意.如x1=-π2∈D，此时sinx2=1-sin（-π2）=2，这样的x2不存在，故y=4sinx不满足题意.

③对于y=lgx，对任意一个x1∈（0，+∞），都有lgx1+lgx2=4，则x1x2=104.所以x2=104x1∈（0，+∞）存在且唯一.故满足题意.

④对于y=2x，事实上，对于x1>2，有2x1>4，此时若2x1+2x2=4成立，则2x2=4-2x10矛盾.从而y=2x不满足题意.

综上所述，满足题意的为①和③.故填①③.

答案：①③.

评注：组合型填空题，可根据组合的特点，逐个验证，筛选正确答案、排除错误的答案，从而得到正确的结果.

四、图表题

给出表格、柱形图、折线图、直方图、函数图象等，通过对图表的观察、分析，挖掘出图表给予的解题信息，然后经过计算、推理得到结果.

例4 将正偶数按下表排成五列，每行有4个偶数的蛇行数列（规律如表所示），则数字2012在第 行，第 列.

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3行18202224

第4行32302826

……

解析：因为数字2012为第1006个（从小到大排列）偶数，而1006=251×4+2，所以2012应是第252行第2个偶数.由表可知，偶数行的第5列为空位，不排数字，且从第1列到第4列，数字是由大到小排列的，又第252行是偶数行，该行的最小偶数应排在第4列，故2012在第252行，第3列，因此填252；3.

答案：252；3.

评注：解决这类问题的方法是仔细阅读图表，弄清题意，建立相应的数学模型，使所给问题得到解决.

五、条件开放题

条件开放题，就是给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.

例5 已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②mα；③mα；④αβ；⑤α∥β.

（1）当满足条件 时，有m∥β；

（2）当满足条件 时，有mβ（填所选条件的序号）.

解析：要找m∥β，mβ成立的条件，由题意可知，不能按常规的线面平行与垂直的判定定理，可用面面平行的性质.有面面平行的性质可知mα，α∥βm∥β.α∥β，mαmβ.故（1）填③⑤；（2）填②⑤.

答案：（1）③⑤；（2）②⑤.

评注：虽然本题只用面面平行的性质解决，但要想找到“条件”，必须掌握空间的线面关系及面面关系的判定和性质，并能灵活运用.解这类题采取的策略与常规的解答题不同，它是从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，再结合图形及其性质逆向推导，寻找出所求条件，因此解题难度较大，希望引起大家的注意.

六、结论开放题

结论开放题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，从而得出满足题意的结论.

例6 老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四位同学分别对其给出下列四个性质：

（1）对定义域内的任意实数x1、x2，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；

（2）对定义域内的任意实数x1、x2，有f（x1+x2）=f（x1）・f（x2）；

（3）对定义域内的任意实数x1、x2（x1≠x2），有f（x1）-f（x2）x1-x2>0恒成立；

（4）对定义域内的任意实数x1、x2，有f（x1+x22）>f（x1）+f（x2）2>0恒成立.

现已知有且仅有三人回答正确，请写出一个满足条件的函数f（x）= .

解析：由于有且仅有三人回答正确，所以（1）、（2）中必有一个性质成立，所以需要找相应的函数模型，我们可以在f（x）=logax与f（x）=ax中选择，下面就是验证（3）（4）两个条件了.

对（1）可知f（x）=logax满足；对（2）f（x）=ax满足；对（3）可知f（x）在定义域内单调递增，由此可知a>1；对（4），由图象的性质可知f（x）=logax（a>1）满足.所以f（x）可以是f（x）=logax（a>1）.

答案：logax（a>1）.

评注：本题是函数类结论开放题，解题时，要根据函数性质猜想、归纳，再对不同情况进行讨论验证，最后得出结果.

七、组建新命题

就是在所给对象中，选取部分为条件，部分为结论，构造正确命题的填空题.解题时往往联系所学知识和结论，合理“搭配”相关对象，组合出条件和结论.

例7 α、β是两个不同平面，m、n是平面α及β外的两条不同直线，给出四个论断：①mn；②αβ；③nβ；④mα.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .

解析：因为αβ，在α内存在一条与β垂直的直线，设为l.由于nβ，所以n∥l.又因为mα，从而ml.这样mn.因此由②③④作为条件可推出①成立.

同样根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理、平行线的性质可知，①③④作为条件，可推出②成立.

答案：αβ，nβ，mαmn或mn，nβ，mααβ.

评注：本题有四种可能，要求在四个命题中选出一个正确命题，也就是说，四个命题中有可能有假命题，因此，不能随便在四个命题中选出一个作为答案，正确的做法是先进行论证，然后选出正确命题.

八、应用题

以现实生活为背景，编制应用型填空题，考察运用所学数学知识解决实际问题的能力.解决这类问题的方法是根据题意建立相应的数学模型，转化为数学问题，再选择适当的数学思想方法解决.

例8 某小区现有住房的面积为am2，在改造过程中政府决定每年拆除bm2旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为 .

解析：根据题意，得an+1=an×1.1-b.用待定系数法将数列转化为等比数列：设an+1+A=（an+A）×1.1，则A=-10b.所以数列{an-10b}是首项为a-10b，公比为1.1的等比数列.因此an-10b=（a-10b）×1.1n，所以an=1.1na-10（1.1n-1）b.

答案：1.1na-10（1.1n-1）b.

评注：本题的解题关键是利用其等量关系转化为数列问题.这是一个有时代背景和现实意义的实际问题，是大家熟悉的知识环境，转化为数列问题后用基本方法解决也是大家掌握的基本数学思想.

九、猜想题

就是给我们若干个特殊的代数式、等式、不等式、函数表达式、图形等，然后根据提供的信息归纳、猜想出满足题目要求的规律.

例9 观察下列不等式：1>12，1+12+13>1，1+12+13+…+17>32，1+12+13+…+115>2，1+12+13+…+131>52，….由此猜想第n个不等式为 .

解析：分析不等式左边的项数与“序号”、不等式左边最后一个数的分母与“序号”、不等式右边与“序号”的关系，然后归纳出第n个不等式.

不等式项数依次为1，3，7，15，31，…，这与相应不等式最后一个分数的分母一致，因此猜想：第n个不等式的最后一个分数的分母为2n-1，故第n个不等式为1+12+13+…+12n-1>n2.

答案：1+12+13+…+12n-1>n2.

评注：猜想规律填空题涉及的数学知识较多，技巧性强，没有现成的解题套路，因此，要求我们首先要弄清题意，理清解题思路，通过合情合理地推理，把直觉发现与逻辑推理相结合，然后归纳出结果.

解填空题的要求是正确、合理、迅速.填空题的结构及其解法较特殊，求解时不要求反映过程，因此解填空题要充分利用题目提供的信息，通过认真的观察、分析，发现其潜在的暗示信息，“小题小做”，利用直接求解法、图象法和特殊化法，“合情”推理，迅速作出解答.