浅析不等式的证明与应用
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不等式是数学中的一个重要课题，揭示了现实世界中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的应用。就知识间的内在联系而论，不等式是进一步学习函数、方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的有关知识。
一、不等式的证明问题
不等式的证明问题，是中学数学的重点和难点问题，是解决函数最值问题、应用题的常用工具，也是学好其他方面数学知识的基础。因此，学好、掌握不等式的证明将会给我们以后在处理一些数学问题解决方面带来便捷和帮助。下面我将就这个问题谈一下自己的体会和心得。
在证明不等式时，应从条件入手，从不同的思维角度去探求多种证明方法，并努力做到举一反三，总结出简捷的解法。
二、不等式的几种证明方法
总结以往我们所学的数学知识不难发现不等式的证明方法多种多样，它可以和许多其他的数学内容相结合，如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等。因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到其他数学知识的技能和技巧，在方法上有比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、数学归纳法、放缩法等等。
问题：已知a，b∈R+且a+b=1，求证：a4+b4≥18
下面我将就上面这个具体的不等式证明问题来简单介绍一下不等式证明证明的几种方法。
1.分析法：就是从寻求使结论成立的充分条件入手，逐步寻求需条件成立的充分条件，直到所需的条件已知正确为止。
证明a4+b4≥18
就是证明（a2+b2）2-2a2b2≥18
即证明（1-2ab）2-2a2b2≥18
即2a2b2-4ab+78≥0
也就是证明（ab-74）（ab-14）≥0
a，b∈R+，a+b=1
由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14
（ab-74）（ab-14）≥0成立
a4+b4≥18
2.综合法：就是从已知或证明过的不等式出发根据不等式性质推导出要证明的不等式。综合法往往是分析法证明的逆过程，表述简单，条理清楚。因此，在实际中往往用分析法分析，用综合法书写。
a，b∈R+且a+b=1
由a+b≥2ab得ab≤（a+b2）2=14
（ab-74）（ab-14）≥0
a2b2-2ab+716≥0
（1―2ab）2-2a2b2≥18
（a2+b2）2-2a2b2≥18
a4+b4≥18
3.比较法：就是通过作差或作商，用差或商分别与0或1比较大小，来得到被减数与减数或被除数与除数的大小关系。
a4+b4-18=（a2+b2）2-2a2b2-18
=（1-2ab）2-2a2b2-18
=2（1-ab）2-98
a，b∈R+，a+b=1，由a+b≥2ab得，0≤ab≤（a+b2）2=14
34≤1-ab<1
a4+b4=2（1Dab）2D98≥2×916-98=0
a4+b4≥18
4.换元法：a4+b4中含有二个参数，通过条件中a，b关系，把a，b都用一个变量t来表示，用求函数值域的方法即可求出a4+b4的范围。
设a=12+t，b=12-t，-12
则a4+b4=（12+t）4+（12-t）4=18+3t2+2t4≥18，
5.柯西不等式法：
柯西不等式：a2+b2c2+d2≥ac+bd2二次使用柯西不等式得证。
由柯西不等式得（a4+b4）（22+22）≥（2a2+2b2）2
（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2
a4+b4≥18（2（a2+b2））2≥18
上面几种方法是证明不等式一些基本思路，另外针对一些不等式利用上述几种方法可能解不出来或是解起来很困难，这时我们可以考虑着用其他一些方法来解。如数学归纳法可以用来解决与自然数有关的不等式的证明。
通过对上面这一些事例的几种证明我们不难发现，不等式的证明可以活跃思维，还能考察出综合掌握知识的能力。
三、不等式的应用
不等式应用也很广泛，利用不等式证明可以解决许许多多的实际问题。
不等式的应用大约可以分为两类：
（1）建立不等式求参数的取值范围或解决实际应用问题;（2）建立函数关系，利用均值不等式求最值问题。解决这两类问题的措施是：（1）掌握利用均值不等式求最值的方法和要求（一正，二定，三相等），这里特别需要注意的是对函数的单调性与图象的掌握;（2）研究参数问题注意使用分离参数的方法;（3）对不等式的研究要注意数形结合思想，函数与方程的思想的应用。