高斯—克吕格投影正反算公式的应用

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【摘 要】 高斯-克吕格正算公式是把大地坐标换算成高斯-克吕格投影平面上的直角坐标，而高斯-克吕格反算公式是把高斯-克吕格投影平面直角坐标换算到椭球面上的大地坐标。为了城市坐标与国家统一坐标取得一致，需要进行城市坐标与国家坐标之间的换算，高斯-克吕格正反算公式为不同投影带之间的坐标换算提供了精确的坐标公式。

【关键词】 高斯-克吕格投影 坐标 中央子午线

1 引言

目前，大比例尺地形图广泛应用在市政建设、路桥、管道铺设和城市规划等工程建设中。为了满足城市大比例尺1：500地形测图精度要求，《城市测量规范》要求，控制点之间的投影长度变形不得大于2.5cm/km。当控制点之间的长度变形大于2.5cm/km时，要采取适当的措施进行改化，以达到城市大比例尺1：500地形测图精度要求。国家坐标系是6°带或3°带投影的高斯-克吕格直角坐标系，根据它的变形规律，离中央子午线越远，所产生的投影变形越大。城市独立坐标系的建立，通常是选择过城市的某国家控制点为地方坐标系的起算点，过这点的经线为其中央子午线并联测国家高等级的控制点建立起来的。这样，国家坐标系与城市独立坐标系的中央子午线存在一个差值λ。为了更好的进行数据共享，城市平面控制坐标最理想的是和国家坐标系相统一，这就要进行城市独立坐标与国家坐标之间的坐标换算。高斯-克吕格投影正反算公式能很好的解决不同投影带之间的坐标换算问题。其方法是：先将已知的平面坐标，按高斯-克吕格投影反算公式求得其大地坐标（B，L），然后根据大地纬度B和经差λ，再按高斯-克吕格投影正算公式求得其在另一投影带中的平面坐标。

2 高斯-克吕格投影正反算公式

2.1 高斯-克吕格投影正算公式：

（1）

其中：，为中央子午线弧长，其计算公式为：

、、、为常数，其计算公式为：

2.2 高斯-克吕格投影反算公式：

其中：。

（1）、（4）式中的N、的计算公式为：

上述诸式中，a、e分别为椭球长半径和第一偏心率，B、L分别为大地经度和大地纬度，L0中央子午线经度，N为卯酋圈曲率半径，B、L、L0单位为弧度。

2.3 （B，L）的求解

为了解算出（B，L），要先求出B0，这里采用迭代方法求解大地纬度B0，其方法为：

①迭代初值：；

②各次迭代：；

③终止条件：。一般取为2.78*10-9度，即0.00001秒。

迭代求出大地纬度B0后，再求得大地坐标（B，L），然后用子午线弧长公式计算出在新投影带中的子午线弧长，最后利用高斯-克吕格投影正算公式计算出其在新投影带中的坐标。值得注意的是，迭代解算B0时，B0的单位为度。

3 算例

已知某点在中央子午线L0=1200的60投影带内的坐标为：x=3717726.417，y=-87135.574，求该点在中央子午线L0=1190时的坐标。

首先迭代计算出该点在中央子午线L0=1200的大地纬度B0=33058′52.72705″；

然后用高斯-克吕格投影反算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的大地坐标（B，L）为：B=33034′54.16840，L=119003′41.13609″；

再由子午线弧长公式计算出该点在中央子午线L0=1190的子午线弧长3717331.634；

最后由高斯-克吕格正算公式计算出该点在中央子午线L0=1190时的平面直角坐标为：x=3717333.325，y=5702.652。

4 结论

高斯-克吕格投影正反算公式能够进行任意带之间的坐标转换，并且转换精度高，迭代计算B0收敛速度快，效率高。该方法理论简单，容易编制程序计算，便于掌握应用。

参考文献：

[1]肖复何.《控制测量学》[M].重庆：重庆大学出版社，1994.300-303.

[2]赵长胜.《高斯投影坐标反算的迭代算法》[J].测绘通报，2004，（3）：16-17.

[3]张风举，邢永昌编.《矿区控制测量》（上册）[M].北京：煤炭工业出版社，1987.300-306.

[4]《城市测量规范》（CJJ8—99）[M].北京：中国建筑工业出版社，1999.186-188.