对一道高考试题的教学分析

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每年的高考题，都是命题者根据课标和考纲凝神聚力，精心打磨、创造的劳动成果.它既突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查，又重视基本能力和综合能力的考查，更注重数学应用意识和创新意识的考查.它既给当年的考生和教学工作者、研究者留下深刻的印象，又给来年的高考复习提供了很好的研究素材.本文就是笔者在高三复习中，对一道高考试题的教学过程及简要分析.

试题 (2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=log2(1-x),x≤0

f(x-1)-f(x-2),x>0，

则f(2009)的值为（ ）

A. -1 B 0

C 1 D 2

教学过程

师：这是2009年山东省的一道高考题，请同学们思考，并给出解答.

生1：我采用归纳的方法，由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=1,所以，

f(1)=f(0)-f(-1)=-1,

f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0,

f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

师：他从自变量为-1开始，逐步增加，通过f(0),f(1),…,f(6)的取值发现规律得出结果的.还有没有其他方法？

生2：还可以从f(2009)逐步递进.

f(2009)=f(2008)-f(2007)=f(2007)-f(2006)-f(2007)=-f(2006).

同理：f(2006)=-f(2003),所以，f(2009)=f(2003).函数f(x)的值以6为周期重复性出现,所以f(2009)=f(5)=f(-1)=1,故选C.

师：好，本题考查了归纳推理以及函数的周期性和对数的运算，哪个同学能总结一下，解此类问题的方法.

生3：当x≤0时，函数值可求.要求f(2009)的值，断定有规律可循.解决此类问题，往往是由特殊到一般，慢慢寻求规律，直至问题解决.

简析:问题让学生处理、总结，便于学生加深对问题的理解，找到解决问题的一般规律，提高学生的解题技能.

师：你说的很好，一句话，就是找规律.好，请大家再看一道高考题：

引申1 （2010重庆）若函数f(x)满足：f(1)=14，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R)，则f(2010)=_____.

大家看，该怎样处理？

（看到此题，学生略显怯意.一段时间后仍然没有同学提出思路）

师：这样，咱们先谈谈对这道题的观感.

生1：题目有些难.

师：难在何处？

生1：抽象、复杂，一时想不出思路.

生2：前面的问题中含一个变量x，这一个题中含两个变量x,y.

师：有没有办法，将其中一个变量消去，转化为含一个变量的式子？

生3：有办法.令y=1.即4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1),得f(x)=f(x+1)+f(x-1).

师：由f(x)=f(x+1)+f(x-1)能否推出f(2010)？

生3：f(2010)=f(2011)+f(2009)，一上一下，推不出来.

师：那么，这个问题该怎样解决呢？

生5：我有办法.f(x)=f(x+1)+f(x-1)f(x+1)=f(x)-f(x-1).

也就是，f(x)=f(x-1)-f(x-2)，就是上面的那道题.

师：说的太好了，实际上就是化归的数学思想.

简析:将两个看似不相连的问题一起处理，深化了化归思想，给学生提供了崭新的解题境界.

师：我们知道数列是一种特殊的函数，请大家看一个2012年高考题（因2012年高考尚未进行，学生笑）：

引申2 数列{an}中，a1=1,an・am=an+m+an-m(n,m∈N*,n>m).求a2011

（题目一出，很快就有学生发言）

生5：令m=1，则有ana1=an+1+an-1，即an=an+1+an-1和上一题实际一样，结果为1.

师：大家看，他说的对不对？

生：对.

师：这说明，很多函数题和数列题的解法是相同的.好，请大家先把下面几个函数题做一下，然后看能否编一个与之相同的数列题.

练习：

1. 若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)并且，f(1)=2,则f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+…+f(100)f(99)=_____.

2. 已知函数f(x)满足f(x+1)=1+f(x)1-f(x),若f(0)=2,则f(100)=_____.

3. 已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1,求f(100).

4. 定义在R上的f(x)，满足f(m+n2)=f(m)+2［f(n)］2,m,n∈R,且f(1)≠0，则f(2012)=_____.

简析:数列是特殊的函数，函数中的一些问题与数列不仅形式上相似，解法上也是相同的.因为是高三复习课，将函数和数列联系起来复习，有利于学生对知识间的串通、方法的掌握和技能的提高，让学生尝试编题，既是对内容的进一步巩固，也是学生创新能力锻炼的一次体现.

本节课由一道函数高考题为切入口，联想到其它的高考题.再由函数题联想到数列题，学生感受到归纳、类比、化归思想带来的喜悦，环环紧扣、步步相连.最后，让学生在练习中进一步感悟，在练习中进一步掌握基础知识，在练习中进一步提高基本技能，在练习中提升创新意识，增强解题能力，破解解题战术，达到了数学教学量少质高的效果.像2007年和2011江西的高考题、2011年“希望杯”高二培训题，都能从中感受到类比联想的益处.

注：1. （2007江西）已知数列{an}对于任意p,q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=19,则a36=_____.

2. （2011江西理5） 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1．那么a10=（ ）

A． 1 B． 9

C． 10 D． 55

3. （2011希望杯高二培训题）已知数列{xn}满足xn+1=xn+11-xn,则x2011-x411的值为（ ）

A． 1B． 2

C． 0D． 1600