开篇:润墨网以专业的文秘视角,为您筛选了一篇凸多边形全等的判定范文,如需获取更多写作素材,在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享!
一、 问题的提出
形状、大小都相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。
以三角形为例,如果一个三角形可以通过平移、旋转、翻转等运动与另一个三角形重合,我们就说这两个三角形是全等三角形。两个全等三角形的对应边、对应角、面积、周长都相等。类似地,就有全等四边形、全等五边形,等等。
三角形的全等判定,为我们所熟知。而怎么判定凸多边形全等呢?以下从凸四边形入手,探讨凸多边形全等的判定方法。
二、四边形的全等
四边形全等的条件及证明多有论述,此处仅作引述,不一一证明。
(一)四个条件无法判定四边形全等。
四条边相等无法判定四边形全等。例如一个正方形,和一个与之边长相等的菱形。三边一角相等无法判定四边形全等。如:
同样,二边二角相无法判定四边形全等(分对应相等的两边为邻边,两角为对角或邻角来讨论);一边三角相等无法判定四边形全等;四个角相等无法判定四边形全等。
(二)证明四边形全等至少需要五个条件。
1.四边一角的情况
公理1.四边及任意一角对应相等的两个四边形全等("SSSSA")。
2.三边两角的情况
公理2.三边及两夹角对应相等的两个四边形全等("SASAS") 。
相反地,三边及一个夹角,以及另一夹角的对角对应相等,不能证明两个四边形全等;
三边及一个夹角,以及该夹角的对角对应相等,不能证明两个四边形全等;
三边及两个非夹角对应相等,不能证明四边形全等
3.两边的情况
四边形四个角的度数总和为360°,所以三个角对应相等,说明第四个角也相等。这样,讨论"两条边三个角"的条件时,三个角可为任意三个角,只需讨论两个边的不同情况即可。以下按两邻边、两对边两种情况分析。
公理3. 两邻边及任意三个角对应相等的两个四边形全等("SSAAA") 。
相反,两对边及任意三个角相等,不能证明两个四边形全等。
4.一条边四个角的情况
上文提到,三角一边相等无法判定四边形全等,一边四角与此条完全一样。
三、凸n边形的全等
证明三角形全等至少需要三个条件,而证明四边形全等至少需要五个条件,那么对于凸n边形的全等,条件的个数与判定的方法有规律吗?
(一)条件个数
每一个多边形,都可以被分解成多个三角形。三角形的全等判定方法,是判定多边形全等的基础。
四边形中,连接一条对角线,可以通过分割变成两个三角形,如图。
证明四边形全等时,可以先三个条件证明ABC与A'B'C',那么AC与A'C'自然相等;然后再用两个条件和AC=A'C',证明ABC≌A'B'C'。既然两组三角形同时全等,那么这两个四边形也一定全等。
同样道理,五边形可以分割成一个四边形和一个三角形,也就是三个三角形。由此推测出判定五边形全等需要至少七个条件,如:"五边二角"。
一般情况下,凸n边形的全等判定需要几个条件呢?我们仍然沿用"分割法"来解决此问题。
如上图,过凸n边形的一个顶点A1共有n-3条对角线,它们将凸n边形分为n-2个三角形。要证明此n边形与右边的n边形全等,需要证明所有小三角形全等。
证明A1A2A3≌B1B2B3,需要3个条件。比如A1A2 =B1B2,A1A2 =B1B2,∠A2=∠B2。
由A1A2A3≌B1B2B3又可得出A1A3=B1B3,再增加两个条件,便可证明A1A3A4≌B1B3B4。
依此类推,证明凸n边形全等的条件总个数为3+2(n-2),即2n-3个条件。
(二)判定全等方法
1.n个边,(n-3)个角。
2.(n-1)个边,(n-2)个角,其中角均为相等边的夹角。
3.(n-1)个角,(n-2)个边,其中边均为相等角的夹边。
理由源于上文提到的"分割法",证明过程不再赘述。
参考资料
1.《四边形全等的判定》(王春辉 刘海燕)
2.《超常儿童成长的地方》 学苑出版社