“广义碰撞”模型及应用

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动量守恒是高中物理教学的重点和难点，在一轮复习教学中教师为降低该部分知识的难度，常将常见物理情景归纳总结成若干模型，如两球碰撞模型、弹簧模型、子弹打木块模型、小球半圆型槽、绳牵连模型等.笔者在实际教学中将以上诸多模型统一为“广义碰撞”模型.

一、碰撞的过程和特点

碰撞过程中，两物体通过任意时刻大小总相等、方向总相反的一对力（因形变而产生的弹力）相互作用，使每个个体动量发生变化，但因不受外力或外力之和为零而系统总动量守恒.它具有作用时间短、内力远大于外力、不计两者过程中位移的特点.

碰撞过程可分为压缩阶段和恢复阶段，在压缩阶段两者互相靠拢，动能转化为弹性势能，当两者共速时，弹性势能最大，压缩阶段结束.恢复阶段两者互相远离，弹性势能转化为动能.众所周知，碰撞分为弹性碰撞、完全非弹性碰撞、非完全弹性碰撞.三者的本质区别就在于恢复阶段中能否将压缩阶段中储存的弹性势能完全转化为动能.

1．形变完全恢复，压缩阶段中储存的弹性势能能够全部转化为动能的碰撞是弹性碰撞.因动能不损失，故对全程有：

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2， ①

12m1v12+12m2v22=12m1v′12+12m2v′22．②

得v′1=(m1-m2)v1+2m2v2m1+m2，

v′2=(m1-m2)v2+2m1v1m1+m2．

2．形变完全不能恢复，压缩阶段中储存的弹性势能不能转化为动能，没有恢复阶段的碰撞是完全非弹性碰撞．

以一动一静为例，有：

m1v1=(m1+m2)v2，③

Ep=12m1v12-12(m1+m2)v22．④

得Ep=m1m22(m1+m2)v12．

3．形变部分恢复，压缩阶段中储存的弹性势能能够部分转化为动能的碰撞是非完全弹性碰撞.

因此，碰撞问题的教学就是教会学生从动量、能量两个角度思考问题，列动量方程和能量方程的过程.

二、广义碰撞

在弄清碰撞的过程和特点的基础上，笔者将具有以下三个特征的物理过程定义为“广义碰撞”.

1．两物体间通过任意时刻大小总相等、方向总相反的一对力相互作用.

2．系统满足或某一方向上满足动量守恒定律.

3．系统中动能与其他形式的能量（如弹性势能、重力势能、内能、电能、电势能等）相互转化.

广义碰撞过程不再要求作用时间短、内力远大于外力、不计二者碰撞过程中的位移.

三、广义碰撞的应用

图1

例 如图1，一质量为m的小球以初速度v0冲上静止在光滑水平面上质量为M的槽体，内有半径为R的光滑半圆形轨道.

（1）求小球在圆形轨道上上升的最大高度.

（2）试讨论小球离开槽体后的运动情况.

该物理过程中小球和槽体通过两者之间的弹力相互作用，系统在水平方向上动量守恒，其动能和重力势能之间相互转化.符合广义碰撞的定义.

小球在圆形轨道上升的过程，动能转化为重力势能，理解为压缩阶段.两者共速时，重力势能最大，小球上升高度最高，压缩阶段结束.设共速速度为v．仿照上述③、④两式有：

mv0=(m+M)v，

mgh=12mv02-12(m+M)v2．

可以看到，上述两式只是将碰撞中的弹性势能换成重力势能而已.

小球在圆形轨道下降的过程，重力势能转化为动能，理解为恢复阶段，小球再次回到圆形轨道左端时，重力势能全部转化为动能，动能不损失，视为广义完全弹性碰撞.设此时小球速度为v1，槽体速度为v2．对全程仿照上述①、②两式有：

mv0=mv1+Mv2，

12mv02=12mv12+12Mv22．

并可直接运用上述弹性碰撞中的结论，若m=M小球将和槽体发生速度交换，小球离开槽体后自由下落；若mM小球不会将被反弹，小球离开槽体后向右平抛，且碰后v1