巧借“等时圆模型”解题赏析

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学习过程中，我们经常会遇到与圆相关的质点运动的问题，其中“等时圆模型”相关的问题丰富多彩，灵活多变，构成物理习题中的一道靓丽风景线.

1等时圆模型

如图1，质点从P点由静止出发，沿同一圆的不同弦1、2和直径3在竖直平面内无摩擦地下滑至同一圆周上各自的另一端点，比较它们下滑所需的时间.

我们不妨先任取一弦来分析，设圆的半径为R.弦与竖直方向的夹角用α表示，与水平方向的夹角θ用表示.则弦长L=2Rcosα.质点下滑的加速度a=gsinθ=gcosα，下滑所需的时间为

t=2La=2・2Rcosαgcosα=2Rg.

计算结果表明：物体由静止开始从竖直圆周上顶端沿不同弦无摩擦地滑到圆周上任一点所需时间相等.

同样地，物体由静止开始从竖直圆周上任一点沿不同弦无摩擦地滑到该圆的底端所用的时间相等.

2应用题赏析

例题1如图2，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是

A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定

简析由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确.

例题2如图3所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心，D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）.已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止出发沿圆环运动到M点.则

A.a球最先到达M点B.b球最先到达M点

C.球最先到达M点D.d球最先到达M点

简析设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论

ta=4Rg=2Rg，

tb>ta；

c做自由落体运动tc=2Rg；

而d球滚下是一个单摆模型，摆长为R，

td=T4=π2Rg，

所以C正确.

例题3如图4，一物体在一斜面上方的P点由静止沿不同的光滑平板下滑至斜面上，问它们滑行时间关系.

简析本题初看起来，与上题毫无关系，觉无从下手，但如果我们作出辅助圆（如图虚线），则会忽然开朗.此题和上题实际是形异质同.由上题的结论不难得出，光滑板2和3不在圆上，3为直径，2为一个弦长，光滑板1大于弦长，显然在板PC上滑行时间t1最长.在板PA和PB上滑行时间相等，则t1>t2=t3.

例题4如图5所示，若一质点自倾角为α的斜面上方的定点O沿光滑斜槽OP从静止开始下滑，为了使质点在最短时间内从O点到达斜面，则斜槽与竖直方向的夹角β为多少？

简析此题从题目提供的表面信息用一般方法很难有所突破，但如果我们深入分析，将会悟出与例题1本质相通.当质点从圆周竖直直径的上端静止开始，沿不同的光滑斜槽滑至同一圆周上的各点，所需时间相等.由此能够想到：过O点作OC平行于底面与斜面交于C，作∠OCA的平分线交OA于O1，再过O1作O1P垂直斜面，连OP，则∠POA=β，由图直接看出β=α2.

例题5如图7所示，在一斜坡面上的O点竖直地固定一根直杆，杆长10 m，O到坡底B的距离也是10 m，杆的上端A到坡底B之间有一根钢绳，小球穿过钢绳，若小球从A

点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下，求小球在钢绳上滑行的时间.

简析从问题的情境中两个10 m相等出发，将AO延长到C，设OC=OA=10 m，则O到A、B、C三点距离相等，联想到圆的性质，于是以O点为圆心，以OA为半径作图（如图8所示），则B、C一定在该圆的圆周上，A为顶点.运用物体从圆周最高点由静止开始沿不同斜面无摩擦地滑到圆周上的任一点所用的时间相等这一重要规律可得

tAB=tAC=2ACg=2 （s）.

例题6如图9所示，固定支架ACB，AC竖直，AB为光滑钢丝，AC=BC=l，一穿在钢丝中的小球从A点静止出发，滑到B点的时间t是多少？

简析该问题初看起来束手无策，但进一步的分析，将会发现与“等时圆模型”存在关联.如图10，因为AC=BC=l，且AC为竖直方向，所以l相当于“等时圆”的半径R，按照“等时圆”模型的结论，小球从静止出发滑到B点所需要的时间

t=2・2lg=2lg.

总之，善于透过变式，认识本质，从不同的具体问题与原有认知的物理模型同化，从而找出解决问题的思路，这是我们应该培养和发展的一种能力.