圆的直径长与椭圆的长轴长相等吗?

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笔者阅读数学刊物时，拜读了李锦昱老师发表于《中学数学杂志（高中版）》2008年第4期关于《圆的斜二测画法的直观图是何种椭圆？——评几种版本教材对圆的直观图的处理特点》的论文（以下简称“文章”）.耐人寻味，感触颇深，通过探寻，认为还有几个问题需要弄清，不留遗憾.一是 圆的直径长等于椭圆长轴长吗？二是 两者之间的面积还具有“S圆直=24S圆”的等量关系吗？

1 对文章中椭圆方程的商榷

文章中关于圆的斜二测画法下直观图方程的求解方法是正确无误的.引文如下：

设圆上任意一点为P（cos θ，sin θ），其在x轴的射影为P0（cos θ，0），先将PP0变成原来的一半得P1P0，其中P1（cos θ，12sin θ），再将P1P0绕P0顺时针旋转45°得到P′P0，其中P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），即平面直角坐标系xOy中圆上的任一点P（cos θ，sin θ）变成了x′O′y′中的点P′（cos θ+24sin θ，24sin θ），故圆在斜二测画法下的直观图的参数方程为

x′=cos θ+24sin θ

y′=24sin θ（θ为参数），

x′-y′=cos θ

22y′=sin θ，消去参数θ可得

（x′-y′）2+8y′2=1即，x′2-2x′y′+9y′2=1，换成习惯的表示为

x2-2xy+9y2=1.

此即圆在斜二测画法下的直观图的方程，其图形仍为椭圆，轨迹形状的判断要涉及到图像的平移、伸缩和旋转变化公式，此处对于方程（x′-y′）2+

8y′2=1令x′-y′=x″

y′=y″（平移与旋转），则轨迹方程变成x″2+8y″2=1.

从上面推理过程显然可知：半径为1圆心在原点的圆的斜二测画法下直观图的轨迹方程变为了x″2+8y″2=1，换成习惯式：x2+y218=1，此方程明确表示了是长半轴为1，短半轴为24的椭圆方程，同时文章中也表明了“圆的斜二测画法下，直观图的椭圆方程的长半轴长等于圆的半径长”的结论，果真是这样吗？

我们知道，方程x2-2xy+9y2=1可通过旋转公式消去交叉项（即含xy的项）得到椭圆轨迹的标准方程.正解如下：

由转轴公式x=x′cos θ-y′sin θ

y=x′sin θ+y′cos θ（θ为常数）

其中，θ由cot 2θ=A-CB确定

（注：A、B、C是由方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0形式确定的）.

因为A=1，B=-2，C=9，所以cot 2θ=4，从而求得

cos θ=12+21717，sin θ=12-21717，

所以转轴公式为：x=12+21717x′-12-21717y′

y=12-21717x′+12+21717y′，

代入原方程x2-2xy+9y2=1可得

（5-17）x′2+（5+17）y′2=1，

即x′25+178+y′25-178=1，换成习惯式：x25+178+y25-178=1.

由椭圆标准方程易得长半轴长a=10+2174，短半轴长b=10-2174，在“严格”的斜二测画法中，实践证明了“圆的斜二测画法中的直观图椭圆长半轴长确实比圆的半径长”的结论.因此，认为“圆的斜二测画法所得椭圆的长轴长等于圆的直径长”的结论是不正确的.

2 对文章中圆与椭圆面积的探讨.

首先探讨椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞o）的面积公式.根据椭圆的对称性和定积分的几何意义.

S椭圆=4∫a0aba2-x2dx

=4ba∫a0a2-x2dx=4ba（a22arcsinxa+

x2a2-x2）|a0=4ba×πa24=πab.

因此椭圆x25+178+y25-178=1即椭圆x2-2xy+9y2=1的面积为S椭圆=π×5+178×5-178=24π.

由于文章中给定的圆是单位圆，有S圆=π，所以S圆直=24S圆.

还有在平面图形的斜二测画法下的直观图，大多数教师只重视了多边形的斜二测画法并探寻总结出实物图与直观图面积关系：S直=24S实.而对于圆的斜二测画法下的直观图椭圆的面积情况没有进行探究.这不得不给学生留下疑问：圆是不是平面图形？能不能用斜二测画法得其直观图？实物图与直观图的面积关系还成立吗？尽管“立体几何中常用正等测画法画水平放置的圆”［1］但教材中也未说明此种方法.也许是降低学生学习的难度而只是提倡使用椭圆模板.既然教材中只出现斜二测画法，那进行刨根问底、追根究源也就不足为奇了.积极倡导并努力培养学生探究精神毕竟也是新课标的任务之一.

根据“在处理水平放置的圆的直观图时，先画出圆内接正n边形，当n非常大时，平滑连接各顶点，可以近似得到圆的直观图……，这巩固了斜二测画法”［2］，这说明了正n边形与圆的相互结合关系，同时也间接说明了在斜二测画法下圆的直观图椭圆的面积无限接近于正n边形直观图的面积.从而也证明了S圆直=S正n边形直=24S正n边形=24S圆.

综上所述，平面图形（实物图）与斜二测画法下的直观图的面积有关系式：S直=24S实.

3 对任意圆的斜二测画法的直观图仍是椭圆的论证

我们知道，对于圆的一般方程或标准方程都可以通过坐标的平移化为x2+y2=r2（r＞0）的特殊形式.在坐标平移下，圆的形状、大小并没有改变，只是位置发生了变化.为此研究圆x2+y2=r2（r＞0）在斜二测画法下的直观图，就具有研究任意圆直观图的普遍意义了.其推导思想方法如前所述.

设圆上任意一点为P（rcos θ，rsin θ），在斜二测画法下点P的坐标变成了P′（rcos θ+24rsin θ，24rsin θ）其参数方程为

x′=rcos θ+24rsin θ

y′=24rsin θ（θ为参数），消去参数θ可得

x′2-2x′y′+9y′2=r2，换成习惯的表示为

x2-2xy+9y2-r2=0 （*）.

与前“正解”方法一致，通过转轴公式

x=12+21717x′-12-21717y′

y=12-21717x′+12+21717y′

代入方程（*）得（5-17）x′2+（5+17）y′2-r2=0，

即x′25+178r2+y′25-178r2=1，换成习惯表达式：

x25+178r2+y25-178r2=1.

由此可知：圆x2+y2=r2（r＞0） 在斜二测画法下的直观图是长半轴长a=10+2174r，短半轴长b=10-2174r 的椭圆，离心率e=517-172，面积关系有：S圆直=S椭=24S圆.

综上分析，圆在斜二测画法下的直观图是椭圆，但圆的直径长并不等于椭圆的长轴长.同时也提醒我们，类比的思想固然重要，但遇到新问题，必须通过严密的科学论证来明辨曲直是非，不断提高师生的理性思考能力，避免伪结论的发生或应用.

中心语：怀疑结论是提出问题的基础；严密论证才能诠释理论的真谛.

参考文献

［1］ 刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学 ②［M］.课程教材研究所.中学数学课程教材研究开发中心编著.北京：人民教育出版社.2007年2月第3版第17页.

［2］ 李锦昱.圆的斜二测画法的直观图是何种椭圆［J］中学数学杂志，2008，（4）.

作者简介 何建云，男，1964年9月生，中学数学高级教师，多篇教育教学论文在国家级、省级、州级刊物发表，研究方向为数学教育教学方法